$a)$ Odczytujemy współrzędne miejsc zerowych 

$\left(-4,0\right)$ i    $\left(0,0\right)$  

i wierzchołka paraboli

  $\left(-2,4\right)$  .

Do wzoru ogólnego funkcji kwadratowej 

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  , $a\ne 0$  ,

podstawiamy kolejno współrzędne tych punktów, tworzymy układ trzech równań  

$\{\begin{array}{l}0=a\cdot {\left(-4\right)}^2+b\cdot \left(-4\right)+c\\ 0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ 4=a\cdot {\left(-2\right)}^2+b\cdot \left(-2\right)+c\end{array}$  

który rozwiązujemy metodą podstawiania

$\{\begin{array}{l}0=16a-4b+c\\ 0=c\\ 4=4a-2b+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=16a-4b\mid :4\\ c=0\\ 4=4a-2b\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=4a-b\mid +b\\ c=0\\ 2=2a-b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ c=0\\ 2=2a-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ c=0\\ 2=-2a\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ c=0\\ 1=-a\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ c=0\\ a=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\cdot \left(-1\right)\\ c=0\\ a=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-4\\ c=0\\ a=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-4\\ c=0\end{array}$  

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=-x^2-4x$  ,

w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=-{\left(x+2\right)}^2+4$  ,

w postaci iloczynowej

$f\left(x\right)=-x\left(x+4\right)$  .

---

$b)$ Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli

  $\left(4,-3\right)$  

i dowolnego punktu

$\left(2,-1\right)$  

Podane własności możemy zapisać w postaci układu równań pamiętając, że pierwsza współrzędna

wierzchołka paraboli dana jest wzorem:

$p=\frac{-b}{2a}$  

a drugą dostajemy ze wzoru:

$q=f\left(p\right)$  .

Tworzymy układ trzech równań

$\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=4\mid \cdot 2a\\ f\left(4\right)=-3\\ f\left(2\right)=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=4\cdot 2a\\ -3=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\\ -1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=8a\mid \cdot \left(-1\right)\\ -3=16a+4b+c\\ -1=4a+2b+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-8a\\ -3=16a+4b+c\\ -1=4a+2b+c\end{array}$  

Odejmujemy stronami od drugiego równania równanie trzecie 

- $\{\begin{array}{l}-3=16a+4b+c\\ -1=4a+2b+c\end{array}$

--------------------------------------

$-3-\left(-1\right)=16a-4a+4b-2b+c-c$  

$-3+1=12a+2b$  

$-2=12a+2b\mid :2$  

wyznaczamy jedną ze zmiennych

$-1=6a+b\mid -6a$  

$-1-6a=b$  

$b=-1-6a$   

i podstawiamy do równania  $b=-8a$

$-1-6a=-8a\mid +6a$

  $-1=-2a\mid \cdot \left(-1\right)$

  $1=2a\mid :2$

$\frac{1}{2}=a$

$a=\frac{1}{2}$

możemy wyznaczyć  $b$  podstawiając $a=\frac{1}{2}$  do równania $b=-1-6a$   

i następnie wyliczyć $c$  , ale do podania wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

wystarczy znaleźć $a$  .

 

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2-3$ ,

w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2-3=\frac{1}{2}\left(x^2-8x+16\right)-3=\frac{1}{2}{x}^2-4x+8-3=\frac{1}{2}{x}^2-4x+5$ .

---

$c)$ Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli

  $\left(2,5\right)$  

i dowolnego punktu

$\left(0,1\right)$  

Tworzymy układ trzech równań

$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\mid \cdot 2a\\ f\left(2\right)=5\\ f\left(0\right)=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=2\cdot 2a\\ 5=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\ 1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=4a\mid \cdot \left(-1\right)\\ 5=4a+2b+c\\ 1=c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 5=4a+2b+c\\ c=1\end{array}$

rozwiązujemy metodą podstawiania

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 5=4a+2\cdot \left(-4a\right)+1\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 5=4a-8a+1\mid -1\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 4=-4a\mid :4\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 1=-a\mid :4\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-4a\\ a=-1\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-4\cdot \left(-1\right)\\ a=-1\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=4\\ a=-1\\ c=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=1\end{array}$  

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=-x^2+4x+1$  ,

w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+5$  .

---

$d)$ Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli

  $\left(-3,-3\right)$  

i dowolnego punktu

$\left(-2,-1\right)$  

Tworzymy układ trzech równań

$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=-3\mid \cdot 2a\\ f\left(-3\right)=-3\\ f\left(-2\right)=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=-3\cdot 2a\\ -3=a\cdot {\left(-3\right)}^2+b\cdot \left(-3\right)+c\\ -1=a\cdot {\left(-2\right)}^2+b\cdot \left(-2\right)+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=-6a\mid \cdot \left(-1\right)\\ -3=9a-3b+c\\ -1=4a-2b+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=6a\\ -3=9a-3b+c\\ -1=4a-2b+c\end{array}$  

Odejmujemy stronami od drugiego równania równanie trzecie 

- $\{\begin{array}{l}-3=9a-3b+c\\ -1=4a-2b+c\end{array}$ -

--------------------------------------

$-3-\left(-1\right)=9a-4a-3b-\left(-2b\right)+c-c$  

$-3+1=5a-b$  

$-2=5a-b$  

wyznaczamy jedną ze zmiennych

$-2=5a-b\mid +b$  

$-2+b=5a\mid +2$  

$b=5a+2$  

i podstawiamy do równania $b=6a$  

$5a+2=6a\mid -5a$  

$2=a$

$a=2$  

 

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=2{\left(x+3\right)}^2-3$ ,

w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=2{\left(x+3\right)}^2-3=2\left(x^2+6x+9\right)-3=2x^2+12x+18-3=2x^2+12x+15$ .

---

$e)$ Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli

  $\left(5,-4\right)$  

i dowolnego punktu

$\left(3,-2\right)$  

Podane własności możemy zapisać w postaci układu równań pamiętając, że pierwsza współrzędna

wierzchołka paraboli dana jest wzorem:

$p=\frac{-b}{2a}$  

a drugą dostajemy ze wzoru:

$q=f\left(p\right)$  .

Tworzymy układ trzech równań

$\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=5\mid \cdot 2a\\ f\left(5\right)=-4\\ f\left(3\right)=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=5\cdot 2a\\ -4=a\cdot 5^2+b\cdot 5+c\\ -2=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=10a\mid \cdot \left(-1\right)\\ -4=25a+5b+c\\ -2=9a+3b+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-10a\\ -4=25a+5b+c\\ -2=9a+3b+c\end{array}$  

Odejmujemy stronami od drugiego równania równanie trzecie 

- $\{\begin{array}{l}-4=25a+5b+c\\ -2=9a+3b+c\end{array}$

--------------------------------------

$-4-\left(-2\right)=25a-9a+5b-3b+c-c$  

$-4+2=16a+2b$  

$-2=16a+2b\mid :2$  

wyznaczamy jedną ze zmiennych

$-1=8a+b\mid -8a$  

$-1-8a=b$  

$b=-1-8a$   

i podstawiamy do równania  $b=-10a$

$-1-8a=-10a\mid +8a$

  $-1=-2a\mid \cdot \left(-1\right)$

  $1=2a\mid :2$

$\frac{1}{2}=a$

$a=\frac{1}{2}$

możemy wyznaczyć  $b$  podstawiając $a=\frac{1}{2}$  do równania $b=-1-8a$   

i następnie wyliczyć $c$  , ale do podania wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

wystarczy znaleźć $a$  .

 

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^2-4$ ,

w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^2-4=\frac{1}{2}\left(x^2-10x+25\right)-4=\frac{1}{2}{x}^2-5x+12,5-4=\frac{1}{2}{x}^2-5x+8,5$ .

---

$f)$ Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli

  $\left(-2,4\right)$  

i dowolnego punktu

$\left(1,1\right)$  

Podane własności możemy zapisać w postaci układu równań pamiętając, że pierwsza współrzędna

wierzchołka paraboli dana jest wzorem:

$p=\frac{-b}{2a}$  

a drugą dostajemy ze wzoru:

$q=f\left(p\right)$  .

Tworzymy układ trzech równań

$\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=-2\mid \cdot 2a\\ f\left(-2\right)=4\\ f\left(1\right)=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=-2\cdot 2a\\ 4=a\cdot {\left(-2\right)}^2+b\cdot \left(-2\right)+c\\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-b=-4a\mid \cdot \left(-1\right)\\ 4=4a-2b+c\\ 1=a+b+c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ 4=4a-2b+c\\ 1=a+b+c\end{array}$  

Odejmujemy stronami od drugiego równania równanie trzecie 

- $\{\begin{array}{l}4=4a-2b+c\\ 1=a+b+c\end{array}$

--------------------------------------

$4-1=4a-a-2b-b+c-c$  

$3=3a-3b\mid :3$  

$1=a-b$  

wyznaczamy jedną ze zmiennych

$1=a-b\mid -a$  

$1-a=-b\mid \cdot \left(-1\right)$  

$b=a-1$   

i podstawiamy do równania  $b=4a$

$a-1=4a\mid -a$

  $-1=3a\mid :3$

  $a=-\frac{1}{3}$

możemy wyznaczyć  $b$  podstawiając $a=-\frac{1}{3}$  do równania $b=a-1$   

i następnie wyliczyć $c$  , ale do podania wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

wystarczy znaleźć $a$  .

 

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^2+4$ ,

w postaci ogólnej

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^2+4=-\frac{1}{3}\left(x^2+4x+4\right)+4=-\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+4=-\frac{1}{3}{x}^2-\frac{4}{3}x+2\frac{2}{3}$ .