Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Trapez jest równoramienny, więc trójkąt ABP jest równoramienny.

Kąty przy podstawie AB trójkąta ABP oznaczamy jako α. Obliczamy miare α:

$\alpha =\left({180}^{\text{o}}-{120}^{\text{o}}\right):2={60}^{\text{o}}:2={30}^{\text{o}}$  

Przekątne trapezu są także dwusiecznymi kątów przy podstawie AB. Stąd:

$\left|\angle ABD\right|=\left|\angle DBC\right|=\alpha ={30}^{\text{o}}$  

kąt przy podstawie trapezu oznaczmy jako ß, jest on równy dwóm kątom α.

$\left|\angle ABC\right|=\left|DAB\right|=2\alpha =2\cdot {30}^{\text{o}}={60}^{\text{o}}$  

W trójkącie ABC miary dwóch kątów wynoszą 30^o oraz 60^o, więc miara trzeciego kąta to 90^o. Trójkąt ten jest więc trójkątem prostokątnym.

Korzystając z własnosci w trójkącie o kątach 30^o, 60^o oraz 90^o mamy:

$\left|CB\right|=a=6\text{cm}$  

$\left|AC\right|=\left|DB\right|=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$    

$\left|AB\right|=2a=2\cdot 6=12\left[\text{cm}\right]$   

Dłuższa podstawa AB ma 12 cm.

 

W trapezie równoramiennym suma miar kątów przy ramieniu wynosi 90^o. Stąd:

$\left|\angle DCA\right|=\alpha ={30}^{\text{o}}$  

Trójkąt ACD jest więc trójkątem równoramiennym (miary kątów przy podstawie AC są równe). Stąd:

$\left|AD\right|=\left|DC\right|=6\text{cm}$  

Krótsza podstawa DC ma 6 cm.

 

Aby obliczyć pole trapezu musimy znać długość wysokości, czyli odcinka DE.

Wysokości poprowadzone na dłuższą podstawę dzielą ją na trzy odcinki:

$\left|EF\right|=\left|DC\right|=6\text{cm}$

$\left|AE\right|=\left|FB\right|=3\text{cm}$  

Zauważmy, że trójkąt EBD jest trójkątem prostokątnym.

Wyznaczmy dlugość odcinka EB:

$\left|EB\right|=\left|AB\right|-\left|AE\right|$  

$\left|EB\right|=12-3=9\left[\text{cm}\right]$  

  Miary kątów w trójkącie EBD wynoszą 90^o, 60^o oraz 30^o. Z własności trójkąta o takich kątach mamy:

$\left|EB\right|=\left|DE\right|\sqrt{3}$

  $9=\left|DE\right|\sqrt{3}$  

$\left|DE\right|=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy pole trapezu:

$P_{tp}=\frac{1}{2}\cdot \left(\left|DC\right|+\left|AB\right|\right)\cdot \left|DE\right|$  

$P_{tp}=\frac{1}{2}\left(6+12\right)\cdot 3\sqrt{3}$  

$P_{tp}=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{18}}^9\cdot 3\sqrt{3}$  

$P_{tp}=27\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

 

Odp: Pole trapezu jest równe 27√3 cm².