W zadaniu będziemy korzystać z faktu, że jeżeli α jest kątem ostrym, to nastepujące równości są prawdziwe:

$\sin \alpha =\cos \left({90}^{\text{o}}-\alpha \right)$  

$\cos \alpha =\sin \left({90}^{\text{o}}-\alpha \right)$ $\cos \alpha =\sin \left({90}^{\text{o}}-\alpha \right)$  

 

$\frac{{\left({\sin }^2{60}^{\text{o}}+{\cos }^2{30}^{\text{o}}\right)}^2-\stackrel{\text{jedynka}}{\stackrel{\text{trygonometryczna}}{\overbrace{\left({\sin }^2{15}^{\text{o}}+{\cos }^2{15}^{\text{o}}\right)}}}}{\sin {45}^{\text{o}}\cdot \cos {45}^{\text{o}}}=\frac{{\left({\sin }^2{60}^{\text{o}}+{\cos }^2{30}^{\text{o}}\right)}^2-1}{\sin {45}^{\text{o}}\cdot \cos {45}^{\text{o}}}$       

 

Wiemy, że:

$\sin {60}^{\text{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos {30}^{\text{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\sin {45}^{\text{o}}=\cos {45}^{\text{o}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$   

 

Podstawmy dane do otrzymanego wyrażenia:

$\frac{{\left({\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\right)}^2-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{{\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\right)}^2-1}{\frac{{\sout{2}}^1}{{\sout{4}}^2}}=\frac{{\left(\frac{6}{4}\right)}^2-1}{\frac{1}{2}}=\left(\frac{36}{16}-1\right)\cdot 2=\frac{20}{{\sout{16}}^8}\cdot {\sout{2}}^1=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$