Obliczmy długości boków:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(-1-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$  

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$  

$\left|DA\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$  

Widzimy więc, że:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|DA\right|$   

Wszystkie boki mają takie same długości.

Aby ten czworokąt był kwadratem, również przekątne musza mieć taką samą długość. Obliczmy długości tych przekątnych:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-3-2\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2}=\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$         

czyli:

$\left|AC\right|=\left|BD\right|$  

A zatem czworokąt $ABCD$ jest kwadratem.