a) Zauważmy, że oś oy dzieli zaznaczony wielokąt na dwa trapezy prostokątne. 

1) Wierzchołkami trapezu prostokątnego znajdującego się po lewej stronie osi oy są punkty:

$A=\left(-2,0\right),$  

$B=\left(-2,2^{-2}\right)=\left(-2,\frac{1}{4}\right),$  

$C=\left(0,1\right),$  

$D=\left(0,0\right)$  

Zatem podstawy AB  i CD  mają długość

$\left|AB\right|=\frac{1}{4}$

$\left|CD\right|=1$

wysokość AD ma długość

$h=\left|AD\right|=2$

Zatem pole tego trapezu jest równe

$P_{ABCD}=\frac{\left(\frac{1}{4}+1\right)\cdot 2}{2}=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

 2) Wierzchołkami trapezu prostokątnego znajdującego się po prawej stronie osi oy są punkty:

$C=\left(0,1\right),$  

$D=\left(0,0\right)$  

$E=\left(3,0\right)$

$F\left(3,{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right)=\left(3,\frac{1}{8}\right)$   

Zatem podstawy CD I EF mają długość

$\left|CD\right|=1$

$\left|EF\right|=\frac{1}{8}$  

wysokość DE ma długość

$h=\left|DE\right|=3$

Zatem pole tego trapezu jest równe

$P_{CDEF}=\frac{\left(\frac{1}{8}+1\right)\cdot 3}{2}=\frac{\frac{9}{8}\cdot 3}{2}=\frac{\frac{27}{8}}{2}=\frac{27}{16}$

 

Obliczmy pole zaznaczonego wielokąta

$P=P_{ABCD}+P_{CDEF}=\frac{5}{4}+\frac{27}{16}=\frac{20}{16}+\frac{27}{16}=\frac{47}{16}$  

---

b) Zauważmy, że otrzymany wielokąt jest trójkątem o wierzchołkach 

$A=\left(-3,2^{-\left(-3\right)}-3\right)=\left(-3;5\right)$  

$B=\left(1,2^{-1}-3\right)=\left(1,-2\frac{1}{2}\right)=\left(1,-\frac{5}{2}\right)$  

$C=\left(1,2^{1+1}\right)=\left(1,2^2\right)=\left(1,4\right)$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że pole trójkąta ABC jest równe różnicy pól prostokąta o wymiarach 7 ¹/₂ x 4

i dwóch trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 7 ¹/₂ i 4 oraz 4 i 1. 

Otrzymujemy więc, że 

$P_{ABC}=\left(7\frac{1}{2}\cdot 4\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot 7\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1\right)=\frac{15}{2}\cdot 4-\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{2}\cdot 4+2\right)=$

$=30-\left(15+2\right)=30-17=13$

---

c)  Otrzymany wielokąt jest trójkątem o wierzchołkach w punktach

$A=\left(0,1+3^0\right)=\left(0,1+1\right)=\left(0,2\right)$

$B=\left(0,2^0-2\sqrt{2}\right)=\left(0,1-2\sqrt{2}\right)$  

Zauważmy, że trzeci wierzchołek tego trójkąta jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji 

$y=2^x-2\sqrt{2}$

skąd dostajemy, że 

$2^x-2\sqrt{2}=0$    

$2^x=2\sqrt{2}$

$2^x=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}$

$2^x=2^{\frac{3}{2}}$

z różnowartościowości funkcji wykładniczej dostajemy

$x=\frac{3}{2}$     

więc trzeci wierzchołek tego trójkąta ma współrzędne 

$C=\left(\frac{3}{2},0\right)$  

Obliczmy długość boku AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(1-2\sqrt{2}-2\right)}^2}=$

$=\sqrt{{\left(-1-2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}=1+2\sqrt{2}$   

Zauważmy, że wysokość h opuszczona z wierzchołka C na bok AB tego trójkąta jest równa odległości punktu C od punktu (0,0), czyli

$h=\frac{3}{2}$

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{\left(1+2\sqrt{2}\right)\cdot \frac{3}{2}}{2}=\frac{\left(1+2\sqrt{2}\right)\cdot 3}{4}=\frac{3+6\sqrt{2}}{4}$