Dana jest nierówność

$-x^6+2x^5-3x^4-2x^2+4x-6\ge 0$

$-x^6-2x^2+2x^5+4x-3x^4-6\ge 0$

$-x^2\left(x^4+2\right)+2x\left(x^4+2\right)-3\left(x^4+2\right)\ge 0$

$\left(x^4+2\right)\left(-x^2+2x-3\right)\ge 0$

Zauważmy, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi

$x^4\ge 0$

skąd dostajemy, że  

$x^4+2>0\left(\text{*}\right)$

Znajdziemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 

$-x^2+2x-3$

$\Delta =4-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=4-12=-8<0$

czyli wykres funkcji kwadratowej 

$y=-x^2+2x-3$

nie ma miejsc zerowych i znajduje się poniżej osi ox (ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny). 

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi   

$-x^2+2x-3<0\left(\text{**}\right)$

Z (*) i (**) dostajemy, że iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, czyli dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi 

$\left(x^4+2\right)\left(-x^2+2x-3\right)<0$

Skąd dostajemy, że podana nierówność 

$\left(x^4+2\right)\left(-x^2+2x-3\right)\ge 0$

nie ma rozwiązania. 

 

c.n.d.