a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku

Zauważmy, że trójkąty AED ma wysokość równą długości wysokości równoległoboku ABCD opuszczonej na krótszy bok.

Pole równoległoboku ABCD jest równe 

$P_{ABCD}=a\cdot h$

Pole trójkąta AED jest równe 

$P_{AED}=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{1}{2}a\cdot h$

Zatem pole trójkąta AED jest równe ¹/₂ pola równoległoboku ABCD. 

---

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

 

Zauważmy, że skoro punkty N i M są środkami boków równoległoboku ABCD, to 

$NM\text{||}AD$

oraz

$\left|NM\right|=\left|AD\right|=\left|BC\right|=a$

Oznaczmy przez h długość wysokości opuszczonej na krótszy bok równoległoboku. 

Pole równoległoboku ABCD jest równe 

$P_{ABCD}=a\cdot h$

Obliczmy pole czworokąta NEMF. 

Zauważmy, że pole tego czworokąta jest równe sumie pól trójkątów ENM i MNF. 

Zauważmy też, że suma wysokości trójkątów ENM i MNF opuszczonych na podstawę NM jest równa wysokości h równoległoboku opuszczonej na krótszy bok. Zatem 

$h_1+h_2=h$  

Obliczmy 

$P_{ENM}=\frac{a\cdot h_1}{2}$

$P_{MNF}=\frac{a\cdot h_2}{2}$     

więc

$P_{NEMF}=\frac{a\cdot h_1}{2}+\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{a{h}_1+a{h}_2}{2}=\frac{a\left(h_1+h_2\right)}{2}=\frac{ah}{2}$  

Zatem pole czworokąta NEMF jest równe ¹/₂ pola równoległoboku ABCD. 

---

c) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku

 

Zauważmy, że skoro punkty N i M są środkami boków równoległoboku ABCD, to 

$NM\text{||}AB$

oraz

$\left|NM\right|=\left|AB\right|=\left|CD\right|=a$

Oznaczmy przez h długość wysokości opuszczonej na dłuższy bok równoległoboku. 

Pole równoległoboku ABCD jest równe 

$P_{ABCD}=a\cdot h$

Obliczmy pole czworokąta NEMB. 

Zauważmy, że pole tego czworokąta jest równe sumie pól trójkątów MBN i MEN. 

Zauważmy też, że suma wysokości trójkątów MBN i MEN opuszczonych na podstawę MN jest równa wysokości h równoległoboku opuszczonej na dłuższy bok. Zatem 

$h_1+h_2=h$  

Obliczmy 

$P_{MEN}=\frac{a\cdot h_1}{2}$

$P_{MBN}=\frac{a\cdot h_2}{2}$

Zatem 

$P_{NEMB}=\frac{a\cdot h_1}{2}+\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{a{h}_1+a{h}_2}{2}=\frac{a\left(h_1+h_2\right)}{2}=\frac{ah}{2}$    

Zatem pole czworokąta NEMB jest równe ¹/₂ pola równoległoboku ABCD.