I. Rozważmy przypadek gdy dwusieczna dzieli najmniejszy kąt trójkąta. 

Przypomnijmy, że najmniejszy kąt trójkąta leży naprzeciw najkrótszego boku trójkąta.

Wykonajmy rysunek pomocniczy 

Niech odcinek AD będzie dwusieczną najmniejszego kąta BAC w trójkącie ABC. 

Zauważmy, że trójkąty ACD i ABD mają wspólną wysokość AE poprowadzoną na prostą BC. 

Zatem stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw CD i DB.

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej dostajemy, że 

$\frac{\left|CD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|CD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{15}{20}$  

$\frac{\left|CD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{3}{4}$

Zatem 

$P_{ACD}:P_{ABD}=3:4$

---

II. Rozważmy przypadek gdy dwusieczna dzieli największy kąt trójkąta. 

Przypomnijmy, że największy kąt trójkąta leży naprzeciw najdłuższego boku trójkąta.

Wykonajmy rysunek pomocniczy 

Niech odcinek CD będzie dwusieczną największego kąta ACB w trójkącie ABC. 

Zauważmy, że trójkąty ACD i CDB mają wspólną wysokość CE poprowadzoną na prostą AB. 

Zatem stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw AD i DB.

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej dostajemy, że 

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\mid BC}$ |) 

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{15}{10}$  

$\frac{\left|CD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{3}{2}$

Zatem 

$P_{ACD}:P_{CDB}=3:2$