$\text{a)}\left(3x-7\right)\left(7x-3\right)\left(x^2+5\right)\left(x^2-5\right)=0$

$3x-7=0\text{lub}7x-3=0\text{lub}{x}^2+5=0\text{lub}{x}^2-5=0$   

$x=\frac{7}{3}\text{lub}x=\frac{3}{7}\text{lub}{x}^2=-5\left(\text{sprz.}\right)\text{lub}{x}^2=5$

  $x=-\sqrt{5}\text{lub}x=\sqrt{5}$  

podane równanie ma więc 4 rozwiązania

$x_1=\frac{7}{3},x_2=\frac{3}{7},x_3=-\sqrt{5},x_4=\sqrt{5}$

---

$\text{b)}{x}^6+2x^4=15x^2$

$x^6+2x^4-15x^2=0$

$x^2\left(x^4+2x^2-15\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^4+2x^2-15=0$

rozwiążemy drugie równanie używając podstawienia 

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$t^2+2t-15=0$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$

$\sqrt{\Delta }=8$

więc

$x_1=\frac{-2-8}{2}=-5\left(\text{sprz}\right)$  

$x_2=\frac{-2+8}{2}=3$

wracając do podstawienia otrzymujemy 

$t=3$

$x^2=3$

$x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$

zatem podane równanie ma 3 rozwiązania

$x_1=0,x_2=-\sqrt{3},x_3=\sqrt{3}$      

---

$\text{c)}4x^3+8x^2-x-2=0$

$4x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(4x^2-1\right)=0$

$x+2=0\text{lub}4x^2-1=0$     

$x=-2\text{lub}{x}^2=\frac{1}{4}$

$x=-\frac{1}{2}\text{lub}x=\frac{1}{2}$   

zatem podane równanie ma 3 rozwiązania

$x_1=-2,x_2=-\frac{1}{2},x_3=\frac{1}{2}$      

---

$\text{d)}3x^3+x^2-20x+12=0$  

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych na mocy którego, jeśli powyższe równanie ma rozwiązanie całkowite, to jest ono dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli mogą być nim liczby

$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$

zauważmy, że dla x = 2 dostajemy 

$3\cdot 2^3+2^2-20\cdot 2+12=24+4-40+12=0$

więc liczba 2 jest rozwiązaniem tego równania. 

Na mocy twierdzenia Bezouta wielomian 

$3x^3+x^2-20x+12$  

jest więc podzielny przez dwumian x - 2.

Dzieląc wielomiany (schematem Hornera) otrzymujemy 

	$3$	$1$	$-20$	$12$
$2$	$3$	$7$	$-6$	$0$

więc możemy zapisać

$3x^3+x^2-20x+12=\left(x-2\right)\left(3x^2+7x-6\right)$  

Znajdziemy jeszcze rozwiązanie równania

$3x^2+7x-6=0$

$\Delta =49-4\cdot 3\cdot \left(-6\right)=49+72=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

więc

$x_1=\frac{-7-11}{6}=-3$

$x-2=\frac{-7+11}{6}=\frac{2}{3}$

podane równanie ma więc 3 rozwiązania

$x_1=2,x_2=-3,x_3=\frac{2}{3}$