Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi:

Wprowadźmy oznaczenia:

a, b - długości przyprostokątnych trójkąta odpowiednio AC i AB;

c - długość przeciwprostokątnej BC w tym trójkącie;

r - długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Niech D, E i F będą punktami styczności okręgu do boków trójkąta odpowiednio AC, AB i BC. 

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych dostajemy:

$\text{1)}\left|AE\right|=\left|AD\right|$

Zauważmy, że czworokąt AESD jest kwadratem więc

$\left|AE\right|=\left|AD\right|=r$

$\text{2)}\left|CD\right|=\left|CF\right|=a-r$

$\text{3)}\left|BE\right|=\left|BF\right|=b-r$     

---

a) Korzystając z rysunku zauważmy, że prawdziwa jest równość:

$\left|BC\right|=\left|BF\right|+\left|CF\right|$  

czyli

$c=\left(b-r\right)+\left(a-r\right)$  

$c=a+b-2r$

$2r=a+b-c$  

długość średnicy d okręgu jest równa podwojonej długości promienia

$d=2r$  

skąd otrzymujemy, że średnica d okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równa

$d=a+b-c$  

c.n.d.  

---

b) W dalszym ciągu korzystamy z rysunku i przyjętych oznaczeń.

Przypomnijmy, że w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. 

Zatem długość średnicy D okręgu opisanego na trójkącie  trójkącie jest równa

$D=c$  

Korzystając z podpunktu a) wiemy, że długość średnicy d okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równa

$d=a+b-c$

Obliczmy sumę średnic okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym:

$D+d=c+\left(a+b-c\right)=a+b$

czyli suma średnic okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa sumie długości jego przyprostokątnych.

c.n.d.