a) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy dwa przypadki:

1) Gdy okrąg o środku A jest styczny zewnętrznie do danego okręgu, wtedy promień r tego okręgu jest równy r = 1.

2) Gdy okrąg o środku A jest styczny wewnętrznie do danego okręgu, wtedy promień R tego okręgu jest równy R = 7.

---

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy dwa przypadki:

1) Gdy okrąg o środku A jest styczny zewnętrznie do danego okręgu.

2) Gdy okrąg o środku A jest styczny wewnętrznie do danego okręgu.

Ad.1)

Szukaną długość promienia okręgu oznaczmy przez r.

Zauważmy, że odległość między środkami okręgów jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 4, czyli

$\left|OA\right|=4\sqrt{2}$

z drugiej strony zauważmy, że odległość środków tych okręgów jest równa długości sumy ich promieni, czyli 

$r+3=4\sqrt{2}$

$r=4\sqrt{2}-3$

Ad.2)

Szukaną długość promienia okręgu oznaczmy przez R.  

Korzystając z obliczeń z przypadku pierwszego dostajemy

$R=\left|AP{}^{\prime }\right|=\left|OA\right|+3=4\sqrt{2}+3$  

---

c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy dwa przypadki:

1) Gdy okrąg o środku A jest styczny do danego okręgu w punkcie P.

2) Gdy okrąg o środku A jest styczny do danego okręgu w punkcie P'.

Ad.1)

Szukaną długość promienia okręgu oznaczmy przez r.

Zauważmy, że odległość między środkami okręgów jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 i 1.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 

${\left|OA\right|}^2=2^2+1^2$

${\left|OA\right|}^2=5\text{i}\left|OA\right|>0$

więc

$\left|OA\right|=\sqrt{5}$

z drugiej strony zauważmy, że odległość środków tych okręgów jest równa długości różnicy ich promieni, czyli 

$3-r=\sqrt{5}$

$3-\sqrt{5}=r$

Ad.2)

Szukaną długość promienia okręgu oznaczmy przez R.  

Korzystając z obliczeń z przypadku pierwszego dostajemy

$R=\left|AP{}^{\prime }\right|=\left|OA\right|+3=\sqrt{5}+3$