a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

Zauważmy, że kąt środkowy o mierze 𝛼 i kąt wpisany AEC są oparte na tym samym łuku,

więc miara kąta AEC jest dwa razy mniejsza od miary kąta 𝛼, zatem

$\left|\sphericalangle AEC\right|=\frac{1}{2}\alpha$  

Zauważmy, że

$\left|\sphericalangle CEB\right|={180}^{\circ }-\left|\sphericalangle AEC\right|={180}^{\circ }-\frac{1}{2}\alpha$

(jako kąty przyległe).

Zauważmy, że kąt środkowy o mierze 𝛽 i kąt wpisany ECD są oparte na tym samym łuku,

więc miara kąta ECD jest dwa razy mniejsza od miary kąta 𝛽, czyli

$\left|\sphericalangle ECD\right|=\frac{1}{2}\beta$  

Rozważmy trójkąt BCE. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy

$\gamma +\left({180}^{\circ }-\frac{1}{2}\alpha \right)+\frac{1}{2}\beta ={180}^{\circ }$

$\gamma -\frac{1}{2}\alpha +\frac{1}{2}\beta =0$

$\gamma =\frac{1}{2}\alpha -\frac{1}{2}\beta$

$\gamma =\frac{\alpha -\beta }{2}$

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

     

Zauważmy, że kąt środkowy o mierze 𝛼 i kąt wpisany ADC są oparte na tym samym łuku,

więc miara kąta ADC jest dwa razy mniejsza od miary kąta 𝛼, zatem

$\left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{1}{2}\alpha$  

Zauważmy, że kąt środkowy o mierze 𝛽 i kąt wpisany ECD są oparte na tym samym łuku,

więc miara kąta ECD jest dwa razy mniejsza od miary kąta 𝛽, czyli

$\left|\sphericalangle ECD\right|=\frac{1}{2}\beta$  

Rozważmy trójkąt CBD. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy

$\left|\sphericalangle CBD\right|+\frac{1}{2}\alpha +\frac{1}{2}\beta ={180}^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBD\right|={180}^{\circ }-\frac{\alpha +\beta }{2}$

Zauważmy, że kąty CBD i γ to kąty przyległe, więc ich suma jest równa 180º, skąd otrzymujemy

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({180}^{\circ }-\frac{\alpha +\beta }{2}\right)=\frac{\alpha +\beta }{2}$