Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji...- Zadanie 3: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = x^{2} + 4 x + 8, ⟨ - 3, 1 ⟩$

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2} = - 2 \in ⟨ - 3, 1 ⟩$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji f w wierzchołku i na końcach przedziału:

$f (x_{w}) = f (- 2) = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$

$f (- 3) = (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) + 8 = 9 - 12 + 8 = 5$

$f (1) = 1^{2} + 4 \cdot 1 + 8 = 1 + 4 + 8 = 13$

Otrzymujemy:

wartość najmniejsza: 4,
wartość największa: 13.

$b) f (x) = - 2 x^{2} - 4 x - 1, ⟨ 0, 4 ⟩$

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{4}{- 4} = - 1 \in / ⟨ 0, 4 ⟩$

Wierzchołek paraboli nie należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji f na końcach przedziału:

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 1 = - 1$

$f (4) = - 2 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 = - 2 \cdot 16 - 16 - 1 = - 32 - 16 - 1 = - 49$

Otrzymujemy:

wartość najmniejsza: -49,
wartość największa: -1.

$c) f (x) = - x^{2} + 4 x - 6, ⟨ - 1, 3 ⟩$

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = \frac{- 4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 4}{- 2} = 2 \in ⟨ - 1, 3 ⟩$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji f w wierzchołku i na końcach przedziału:

$f (x_{w}) = f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 6 = - 4 + 8 - 6 = - 2$

$f (- 1) = - (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) - 6 = - 1 - 4 - 6 = - 11$

$f (3) = - 3^{2} + 4 \cdot 3 - 6 = - 9 + 12 - 6 = - 3$

Otrzymujemy:

wartość najmniejsza: -11,
wartość największa: -2.

$d) f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 3, ⟨ - 2, 1 ⟩$

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2} \in ⟨ - 2, 1 ⟩$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji f w wierzchołku i na końcach przedziału:

$f (x_{w}) = f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 3 = \frac{1}{2} - 4 = - 3 \frac{1}{2} = - \frac{7}{2}$

$f (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) - 3 = 2 \cdot 4 - 4 - 3 = 8 - 7 = 1$

$f (1) = 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3 = 2 + 2 - 3 = 1$

Otrzymujemy:

wartość najmniejsza: -⁷/₂,
wartość największa: 1.

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Premium

13:10

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.