$\text{a)}\left(m+3\right)x^2+\left(m+2\right)x+1=0$  

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowymi, czyli, gdy współczynnik przy x² jest różny od zera:

$\left(0\right)m+3\ne 0$  

$m\ne -3$  

$m\in \mathbf{R}\backslash \left\{-3\right\}$  

Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy:

$\left(1\right)\Delta >0$  

${\left(m+2\right)}^2-4\left(m+3\right)>0$  

$m^2+4m+4-4m-12>0$  

$m^2-8>0$  

$m^2>8\mid \sqrt{}$  

$\left|m\right|>2\sqrt{2}$  

$m>2\sqrt{2}\text{lub}m<-2\sqrt{2}$  

$m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},+\infty \right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x₁, x₂ jest większa od -6, gdy:

$\left(2\right)\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6$  

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}>-6$  

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}>-6$  

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

$\frac{-\frac{m+2}{m+3}}{\frac{1}{m+3}}>-6$  

$-\frac{m+2}{m+3}\cdot \left(m+3\right)>-6$  

$-\left(m+2\right)>-6\mid \cdot \left(-1\right)$  

$m+2<6$  

$m<4$  

$m\in \left(-\infty ,4\right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania jest większa od -6, gdy są jednocześnie spełnione warunki (0), (1), (2):

$\left(0\right)m\in \mathbf{R}\backslash \left\{-3\right\}\text{i}\left(1\right)m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},+\infty \right)\text{i}\left(2\right)m\in \left(-\infty ,4\right)$  

$\underline{m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},4\right)}$  

---

$\text{b)}m{x}^2+\left(m-1\right)x+1=0$  

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowymi, czyli, gdy współczynnik przy x² jest różny od zera:

$\left(0\right)m\ne 0$  

$m\in \mathbf{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy:

$\left(1\right)\Delta >0$  

${\left(m-1\right)}^2-4m>0$  

$m^2-2m+1-4m>0$  

$m^2-6m+1>0\mid +8$  

$m^2-6m+9>8$  

${\left(m-3\right)}^2>8\mid \sqrt{}$  

$\left|m-3\right|>2\sqrt{2}$  

$m-3>2\sqrt{2}\text{lub}m-3<-2\sqrt{2}$  

$m>3+2\sqrt{2}\text{lub}m<3-2\sqrt{2}$  

$m\in \left(-\infty ,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3+2\sqrt{2},+\infty \right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x₁, x₂ jest większa od -6, gdy:

$\left(2\right)\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6$  

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}>-6$  

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}>-6$  

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

$\frac{-\frac{m-1}{m}}{\frac{1}{m}}>-6$  

$-\frac{m-1}{m}\cdot m>-6$  

$-\left(m-1\right)>-6\mid \cdot \left(-1\right)$  

$m-1<6$  

$m<7$  

$m\in \left(-\infty ,7\right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania jest większa od -6, gdy są jednocześnie spełnione warunki (0), (1), (2):

$\left(0\right)m\in \mathbf{R}\backslash \left\{0\right\}\text{i}\left(1\right)m\in \left(-\infty ,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3+2\sqrt{2},+\infty \right)\text{i}\left(2\right)m\in \left(-\infty ,7\right)$  

$\underline{m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3,+2\sqrt{2},7\right)}$