a) Aby obliczyć pole zacieniowanego obszaru wystarczy od pola kwadratu o boku 1 odjąć pole wycinka kołowego o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy 90°.

Obliczamy pole kwadratu o boku 1:

$P_{\square }=1^2=1$  

Obliczamy pole wycinka koła o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 90°:

$P_{\text{w}}=\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{1}{4}\pi$  

Obliczamy pole zacieniowanego obszaru:

$P=P_{\square }-P_{\text{w}}=1-\frac{1}{4}\pi$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Aby obliczyć pole zacieniowanego obszaru wystarczy od pola deltoidu ABOC odjąć pole wycinka kołowego o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 120°.

Rozważmy trójkąt ABO. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

$\mathrm{ctg}{30}^{\circ }=\frac{x}{1}$  

$\underline{\underline{\sqrt{3}=x}}$  

Obliczamy pole deltoidu: 

$P_{ABOC}=2\cdot P_{ABO}=2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot x\cdot 1\right)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$  

Obliczamy pole wycinka koła o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 120°:

$P_{\text{w}}=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{1}{3}\pi$  

Obliczamy pole zacieniowanego obszaru:

$P=P_{ABOC}-P_{\text{w}}=\sqrt{3}-\frac{1}{3}\pi$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Aby obliczyć pole zacieniowanego obszaru wystarczy od pola wycinka kołowego o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 135°, odjąć pole trójkąta równoramiennego BOC o ramionach 1 i kącie 135° między tymi ramionami.

Obliczamy pole trójkąta BOC:

$P_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin {135}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  

Obliczamy pole wycinka koła o promieniu 1, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 135°:

$P_{\text{w}}=\frac{{135}^o}{{360}^o}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{27}{72}\pi =\frac{3}{8}\pi$  

Obliczamy pole zacieniowanego obszaru:

$P=P_{\text{w}}-P_{BOC}=\frac{3}{8}\pi -\frac{\sqrt{2}}{4}$