a) Obliczamy, dla jakich argumentów wartości funkcji f i g są równe:
f(x)=g(x)
∣x+1∣+1=21x2
21x2−∣x+1∣−1=0
Z definicji wartości bezwzględnej:
∣x+1∣={x+1 dla x≥−1−(x+1) dla x<−1
Rozważymy więc dwa przypadki:
21x2−∣x+1∣−1=0
21x2−[−(x+1)]−1=0
21x2+x+1−1=0
21x2+x=0 ∣⋅2
x2+2x=0
x(x+2)=0
x=0∈/(−∞,−1) lub x=−2∈(−∞,−1)
21x2−∣x+1∣−1=0
21x2−(x+1)−1=0
21x2−x−1−1=0
21x2−x−2=0
Δ=(−1)2−4⋅21⋅(−2)=1+4=5, Δ=5
x=2⋅211−5=1−5∈/⟨−1,+∞) lub x=2⋅211+5=1+5∈⟨−1,+∞)
Łącząc oba przypadki otrzymujemy:
f(x)=g(x) dla x∈{−2, 1+5}
b) Obliczamy, dla jakich argumentów wartości funkcji f i h są równe:
f(x)=h(x)
∣x+1∣+1=41x2
41x2−∣x+1∣−1=0
Z definicji wartości bezwzględnej:
∣x+1∣={x+1 dla x≥−1−(x+1) dla x<−1
Rozważymy więc dwa przypadki:
41x2−∣x+1∣−1=0
41x2−[−(x+1)]−1=0
41x2+x+1−1=0
41x2+x=0 ∣⋅4
x2+4x=0
x(x+4)=0
x=0∈/(−∞,−1) lub x=−4∈(−∞,−1)
41x2−∣x+1∣−1=0
41x2−(x+1)−1=0
41x2−x−1−1=0
41x2−x−2=0
Δ=(−1)2−4⋅41⋅(−2)=1+2=3, Δ=3
x=2⋅411−3=211−3=2(1−3)=2−23∈/⟨−1,+∞)
lub
x=2⋅411+3=211+3=2(1+3)=2+23∈⟨−1,+∞)
Łącząc oba przypadki otrzymujemy:
f(x)=h(x) dla x∈{−4, 2+23}
