$\text{a)}\{\begin{array}{l}4x+y+2=0\\ y=x^2-2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4x-2\\ y=x^2-2x-1\end{array}$   

Porównujemy prawe strony obu równań. Otrzymujemy:

$x^2-2x-1=-4x-2$  

$x^2+2x+1=0$  

${\left(x+1\right)}^2=0$  

$x+1=0$  

$x=-1$  

Wówczas:

$y=-4\cdot \left(-1\right)-2=4-2=2$  

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$  

---

Interpretacja geometryczna układu równań - prosta y=-4x-2 i parabola y=x²-2x-1 mają jeden punkt wspólny - A(-1, 2).

---

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}4x-y+5=0\\ y=2x^2+8x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=4x+5\\ y=2x^2+8x+7\end{array}$  

Porównujemy prawe strony obu równań. Otrzymujemy:

$2x^2+8x+7=4x+5$  

$2x^2+4x+2=0\mid :2$  

$x^2+2x+1=0$  

korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dostajemy 

${\left(x+1\right)}^2=0$  

$x+1=0$  

$x=-1$  

Wówczas:

$y=4\cdot \left(-1\right)+5=-4+5=1$  

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$  

---

Interpretacja geometryczna układu równań - prosta y=4x+5 i parabola y=2x²+8x+7 mają jeden punkt wspólny - A(-1, 1).

---

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}y+1=0\\ y=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}y=-x-1\mid \cdot 2\\ y=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x-2\\ y=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$  

Porównujemy prawe strony obu równań. Otrzymujemy:

$-\frac{1}{2}{x}^2=-2x-2$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+2=0\mid \cdot \left(-2\right)$  

$x^2-4x-4=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=16+16=2\cdot 16,\sqrt{\Delta }=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$  

$x=\frac{4-4\sqrt{2}}{2}=2-2\sqrt{2}\text{lub}x=\frac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$  

• dla $x=2-2\sqrt{2}:$

$y=-2\cdot \left(2-2\sqrt{2}\right)-2=-4+4\sqrt{2}-2=4\sqrt{2}-6$  

• dla $x=2+2\sqrt{2}:$

$y=-2\cdot \left(2+2\sqrt{2}\right)-2=-4-4\sqrt{2}-2=-4\sqrt{2}-6$  

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\{\begin{array}{l}x=2-2\sqrt{2}\\ y=4\sqrt{2}-6\end{array},\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}\\ y=-4\sqrt{2}-6\end{array}$  

---

Interpretacja geometryczna układu równań - prosta y=-2x-2 przecina parabolę y=-¹/₂x² w punktach  $A\left(2-2\sqrt{2},4\sqrt{2}-6\right)$  i  $B\left(2+2\sqrt{2},-4\sqrt{2}-6\right).$