$\text{a)}$

Rysunek pomocniczy:

           

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$x^2+{12}^2={13}^2$

$x^2+144=169$

$x^2=25$          

$x=5\left[\text{cm}\right]$

Długość krótszej przekątnej:

$2x=10\left[\text{cm}\right]$

$P=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

$P=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 10$

$P=120\left[{\text{cm}}^2\right]$

 

Pole rombu można wyrazić wzorem na pole równoległoboku:  

$P=ah$  

$120=13h$  

$h=\frac{120}{13}\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin \alpha$  

Zauważmy, że:

$P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD}$  

$P_{ABCD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin \alpha$  

$P_{ABCD}=36\sin \alpha$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{9}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{8}}{3}$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Zatem:

$P_{ABCD}=6\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$  

$P_{ABCD}=24\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

 

Pole rombu można wyrazić wzorem na pole równoległoboku:  

$P=ah$  

$24\sqrt{2}=6h$  

$4\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]=h$