a) Wyznaczamy zbiór A.

$x^3-4x>0$  

$x\left(x^2-4\right)>0$  

$x\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-2,x=0,x=2$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)>0\iff x\in \left(-2,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

Zatem:

$A=\left(-2,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

Wyznaczamy zbiór B.

$x^3-x^2-9x+9\le 0$  

$x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)\le 0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2-9\right)\le 0$  

$\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)\le 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-3,x=1,x=3$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)\le 0\iff x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨1,3⟩$  

Zatem:

$B=(-\infty ,-3⟩\cup ⟨1,3⟩$  

---

$A=\left(-2,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$B=(-\infty ,-3⟩\cup ⟨1,3⟩$  

Otrzymujemy:

$A\cap B=(2,3⟩$  

$A\backslash B=\left(-2,0\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

---

b) Wyznaczamy zbiór A.

$x^4-16x^2<0$  

$x^2\left(x^2-16\right)<0$  

$x^2\left(x-4\right)\left(x+4\right)<0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=x^2\left(x-4\right)\left(x+4\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-4,x=0,x=4$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x⁴ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 0 wykres odbije się od osi X.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)<0\iff x\in \left(-4,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

Zatem:

$A=\left(-4,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

---

Wyznaczamy zbiór B.

$x^4-5x^2+4\ge 0$  

Podstawiamy x²=t.

$t^2-5t+4\ge 0$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności:

$\Delta =25-16=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$t=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1\text{lub}t=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Nierówność przyjmuje postać:

$\left(t-1\right)\left(t-4\right)\ge 0$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\ge 0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-2,x=-1,x=1,x=2$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x⁴ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)\ge 0\iff x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨-1,1⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Zatem:

$B=(-\infty ,-2⟩\cup ⟨-1,1⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

---

$A=\left(-4,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

$B=(-\infty ,-2⟩\cup ⟨-1,1⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Otrzymujemy:

$A\cap B=(-4,-2>\cup ⟨-1,0)\cup (0,1⟩\cup ⟨2,4)$  

$A\backslash B=\left(-2,-1\right)\cup \left(1,2\right)$  

---

---

c) Wyznaczamy zbiór A.

$3x^3-x^2-6x+2\le 0$  

$x^2\left(3x-1\right)-2\left(3x-1\right)\le 0$  

$\left(3x-1\right)\left(x^2-2\right)\le 0$  

$3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\le 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-\sqrt{2},x=\frac{1}{3},x=\sqrt{2}$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)\le 0\iff x\in (-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨\frac{1}{3},\sqrt{2}⟩$  

Zatem:

$A=(-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨\frac{1}{3},\sqrt{2}⟩$  

---

Wyznaczamy zbiór B.

$x-x^2>2x^3$  

$0>2x^3+x^2-x$  

$2x^3+x^2-x<0$  

$x\left(2x^2+x-1\right)<0$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 2x²+x-1:

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1\text{lub}x=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

Zatem:

$2x^2+x-1=2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

Nierówność przyjmuje postać:

$x\cdot 2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)<0$  

$2x\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)<0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=2x\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x=-1,x=0,x=\frac{1}{2}$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\frac{1}{2}\right)$  

Zatem:

$B=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\frac{1}{2}\right)$  

---

$A=(-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨\frac{1}{3},\sqrt{2}⟩$  

$B=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\frac{1}{2}\right)$  

Otrzymujemy:

$A\cap B=(-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨\frac{1}{3},\frac{1}{2})$  

$A\backslash B=⟨\frac{1}{2},\sqrt{2}⟩$