$\text{a)}{x}^3-6x^2+9x-4=0$

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

$-1,1,-2,2,-4,4$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x³-6x²+9x-4:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-6\cdot {\left(-1\right)}^2+9\cdot \left(-1\right)-4=-1-6-9-4=-20\ne 0$

$w\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-4=1-6+9-4=0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wykonujemy dzielenie:

$\left(x^3-6x^2+9x-4\right):\left(x-1\right)=x^2-5x+4$

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-5x+4:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,\sqrt{\Delta }=3$

$x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$

Odp. Rozwiązaniami równania są liczby: 1 i 4.

---

$\text{b)}3x^3+3x^2-5x+2=0$

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

$-1,1,-2,2$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=3x³+3x²-5x+2:

$w\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)+2=-3+3+5+2=7\ne 0$

$w\left(1\right)=3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-5\cdot 1+2=3+3-5+2=3\ne 0$

$w\left(-2\right)=3\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-5\cdot \left(-2\right)+2=-24+12+10+2=0$

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wykonujemy dzielenie

$\left(3x^3+3x^2-5x+2\right):\left(x+2\right)=3x^2-3x+1$

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu 3x²-3x+1:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=9-12<0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków.

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba -2.

---

$\text{c)}{x}^3+6x^2+10x+3=0$

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

$-1,1,-3,3$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x³+6x²+10x+3:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+6\cdot {\left(-1\right)}^2+10\cdot \left(-1\right)+3=-1+6-10+3=-2\ne 0$

$w\left(1\right)=1^3+6\cdot 1^2+10\cdot 1+3=1+6+10+3=20\ne 0$

$w\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+6\cdot {\left(-3\right)}^2+10\cdot \left(-3\right)+3=-27+54-30+3=0$

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wykonujemy dzielenie

$\left(x^3+6x^2+10x+3\right):\left(x+3\right)=x^2+3x+1$

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+3x+1:

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5,\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Odp. Rozwiązaniami równania są liczby:  $-3,\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\frac{-3+\sqrt{5}}{2}.$  

---

$\text{d)}4x^3+16x^2+13x+3=0$

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego;

$-1,1,-3,3$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=4x³+16x²+13x+3:

$w\left(-1\right)=4\cdot {\left(-1\right)}^3+16\cdot {\left(-1\right)}^2+13\cdot \left(-1\right)+3=-4+16-13+3=2\ne 0$

$w\left(1\right)=4\cdot 1^3+16\cdot 1^2+13\cdot 1+3=4+16+13+3=36\ne 0$

$w\left(-3\right)=4\cdot {\left(-3\right)}^3+16\cdot {\left(-3\right)}^2+13\cdot \left(-3\right)+3=-108+144-39+3=0$

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wykonujemy dzielenie:

$\left(4x^3+16x^2+13x+3\right):\left(x+3\right)=4x^2+4x+1$

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu 4x²+4x+1:

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0$

$x_0=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$

Odp. Rozwiązaniami równania są liczby: -3, -¹/₂.