Rozwiąż nierówność.- Zadanie 4: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) x - x^{2} \leq 3 - 3 x^{2}$

$2 x^{2} + x - 3 \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 1 + 24 = 25, Δ = 25 = 5$

$x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2}, x_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in ⟨ - \frac{3}{2}, 1 ⟩$

$b) - x (2 - x) > 1 - x^{2}$

$- 2 x + x^{2} > 1 - x^{2}$

$2 x^{2} - 2 x - 1 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 4 + 8 = 12, Δ = 12 = 23$

$x_{1} = \frac{2 - 2 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{2}, x_{2} = \frac{2 + 2 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{2}$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, \frac{1 - 3}{2}) \cup (\frac{1 + 3}{2}, + \infty)$

$c) (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})^{2} > \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$

korzystając po lewej stronie nierówności ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dostajemy

$\frac{1}{9} x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} x \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{9} > \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{9} x + \frac{1}{9} > \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{9} x + \frac{1}{9} > \frac{6}{9} x - \frac{24}{9}$

$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{9} x + \frac{25}{9} > 0 ∣ \cdot 9$

$x^{2} - 4 x + 25 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 16 - 100 = - 84 < 0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i parabola znajduje się nad osią X.

Nierówność jest zatem prawdziwa dla dowolnego x, czyli:

$x \in R$

$d) 2 - x^{2} < (2 - x)^{2}$

korzystając po prawej stronie nierówności ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dostajemy

$2 - x^{2} < 4 - 4 x + x^{2}$

$- 2 x^{2} + 4 x - 2 < 0 ∣ : 2$

$- x^{2} + 2 x - 1 < 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 4 - 4 = 0$

$x_{0} = \frac{- 2}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

Pierwiastek trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczony punkt.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in R \ {1}$

$e) (2 x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} < 10$

korzystając po lewej stronie nierówności ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dostajemy

$4 x^{2} + 4 x + 1 + x^{2} - 6 x + 9 < 10$

$5 x^{2} - 2 x + 10 < 10$

$5 x^{2} - 2 x < 0 ∣ : 5$

$x^{2} - \frac{2}{5} x < 0$

$x (x - \frac{2}{5}) < 0$

Odczytujemy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$x_{1} = 0, x_{2} = \frac{2}{5}$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (0, \frac{2}{5})$

$f) 3 x - (1 - x)^{2} \geq x^{2} - 4$

korzystając po lewej stronie nierówności ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dostajemy

$3 x - (1 - 2 x + x^{2}) \geq x^{2} - 4$

$3 x - 1 + 2 x - x^{2} \geq x^{2} - 4$

$- x^{2} + 5 x - 1 \geq x^{2} - 4$

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 \geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3 = 25 + 24 = 49, Δ = 49 = 7$

$x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 12}{- 4} = 3, x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.