Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia się symetralnych jego boków.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że kąt AOB jest oparty na  $\frac{1}{3}$   okręgu - a więc kąt AOP jest oparty na  $\frac{1}{6}$   okręgu.

$\sphericalangle AOP=\frac{1}{6}\cdot {360}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Odcinki AO i PO są promieniami okręgu, a więc mają równe długości - możemy więc stwierdzić, że trójkąt APQ jest równoboczny.

$\sphericalangle OAP=\sphericalangle APO=\sphericalangle POA={60}^{\circ }$  

 

---

  Kąt AQP jest kątem wpisanym   opartym na średnicy - a więc ma miarę 90^o.

$\sphericalangle AQP={90}^{\circ }$  

$\sphericalangle AQP={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{90}^{\circ }={30}^{\circ }$     

 

Trójkąt OPQ jest równoramienny, a więc: 

$\sphericalangle AQP=\sphericalangle OPQ={30}^{\circ }$  

$\sphericalangle POQ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$