W rozwiązaniu skorzystamy z następujących wzorów:

$\left(1\right){\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\left(2\right)\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

a) Przekształcamy lewą stronę nierówności tak, aby otrzymać prawą stronę. 

$L=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }\stackrel{\left(1\right)}{=}\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\stackrel{\left(2\right)}{=}\mathrm{tg}\alpha =P$  

---

b) Przekształcamy lewą stronę nierówności tak, aby otrzymać prawą stronę. 

$L={\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2-2\sin \alpha \cos \alpha ={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \stackrel{\left(1\right)}{=}1=P$  

---

c) Przekształcamy prawą stronę nierówności tak, aby otrzymać lewą stronę. 

$P=1+{\mathrm{tg}}^2\alpha \stackrel{\left(2\right)}{=}1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\stackrel{\left(1\right)}{=}\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=L$  

---

d) Przekształcamy prawą stronę nierówności tak, aby otrzymać lewą stronę. 

$P=\sin \alpha \mathrm{tg}\alpha +\cos \alpha \stackrel{\left(2\right)}{=}\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\cos \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }\stackrel{\left(1\right)}{=}\frac{1}{\cos \alpha }=L$