a)

---

$a$	$3$	$2\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$5$	$\frac{10\sqrt{3}}{3}$	$6$	$\sqrt{3}$
$b$	$3\sqrt{3}$	$6$	$\sqrt{6}$	$5\sqrt{3}$	$10$	$6\sqrt{3}$	$3$
$c$	$6$	$4\sqrt{3}$	$2\sqrt{2}$	$10$	$\frac{20\sqrt{3}}{3}$	$12$	$2\sqrt{3}$

---

Obliczenia dla I kolumny:

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=3\sqrt{3}$  

$c=2a=2\cdot 3=6$  

---

Obliczenia dla II kolumny:

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6$  

$c=2a=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$  

---

Obliczenia dla III kolumny:

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$  

$c=2a=2\sqrt{2}$  

---

Obliczenia dla IV kolumny:

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$b=a\sqrt{3}$  

$5\sqrt{3}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=5$  

$c=2a=2\cdot 5=10$  

---

Obliczenia dla V kolumny:

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$b=a\sqrt{3}$  

$10=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$  

$c=2a=2\cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$  

---

Obliczenia dla VI kolumny:

$c=2a$  

$12=2a\mid :2$  

$a=6$  

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$  

---

Obliczenia dla VII kolumny:

$c=2a$  

$2\sqrt{3}=2a\mid :2$  

$a=\sqrt{3}$  

$b=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$  

---

---

b)

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{\left(6-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot {180}^{\circ }}{6}=\frac{{720}^{\circ }}{6}={120}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\left({180}^{\circ }-{120}^{\circ }\right):2={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\left({180}^{\circ }-{120}^{\circ }\right):2={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle CAF\right|={120}^{\circ }-{30}^{\circ }={90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle AEC\right|={120}^{\circ }-2\cdot {30}^{\circ }={120}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle EBD\right|=\left|\sphericalangle CAB\right|={30}^{\circ }$  

(kąty EBD i CAB są oparte na łuku o tej samej długości, ponieważ wielokąt jest foremny)

---

c)

Pole sześciokąta foremnego o boku długości 10 jest równe:

$6\cdot \frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{100\sqrt{3}}{4}=6\cdot 25\sqrt{3}=150\sqrt{3}$  

Pole sześciokąta foremnego o boku $\frac{2\sqrt[4]{75}}{3}$  jest równe 10. 

Obliczenia:

Oznaczmy bok sześciokąta jako a. Wówczas:

$6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=10$  

$3\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=10\mid \cdot \frac{2}{3}$  

$a^2\sqrt{3}=\frac{20}{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a^2=\frac{20}{3\sqrt{3}}=\frac{20}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{9}$  

$a=\frac{\sqrt{20\sqrt{3}}}{3}=\frac{2\sqrt{5\sqrt{3}}}{3}=\frac{2\sqrt[4]{75}}{3}$  

Jeśli dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest równa 12, to obwód sześciokąta wynosi 36, a krótsza przekątna ma długość  $6\sqrt{3}\sqrt{3}.$  

Obliczenia:

Oznaczmy bok sześciokąta jako a. Wówczas:

$6a=36\mid :6$  

$a=6$  

Obliczamy dłuższą przekątną:

$2\cdot 6=12$  

Obliczamy krótszą przekątną:

$2\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$