Na podstawie rysunku widzimy, że przekątna kwadratu EFGH jest równa połowie długości boku kwadratu ABCD. Stąd:

$d=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot 10=5$  

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$d=b\sqrt{2}$  

$5=b\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$b=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

Odp. Bok kwadratu ma długość:  $\frac{5\sqrt{2}}{2}.$  

---

Trójkąty AFI i BGH są prostokątne i maja kąt ostry o mierze 45°, więc są równoramienne. Wynika stąd, że:

$\left|AF\right|=\left|FI\right|=b$  

$\left|BG\right|=\left|GH\right|=b$  

Zatem punkty F i G dzielą odcinek AB na trzy równe części. Stąd:

$b=\frac{1}{3}a=\frac{1}{3}\cdot 10=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$  

Odp. Bok kwadratu ma długość:  $\frac{10}{3}.$  

---

Na podstawie rysunku widzimy, że:

$\left|AH\right|+\left|HE\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|$  

$b+x=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}$  

$b+x=5\sqrt{2}$  

$x=5\sqrt{2}-b$  

Trójkąt HGE jest połówką kwadratu o boku x. Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$b=x\sqrt{2}$  

$b=\left(5\sqrt{2}-b\right)\cdot \sqrt{2}$  

$b=5\cdot 2-b\sqrt{2}$  

$b+b\sqrt{2}=10$  

$b\left(\sqrt{2}+1\right)=10\mid :\left(\sqrt{2}+1\right)$  

$b=\frac{10}{\sqrt{2}+1}=\frac{10}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{10\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-1}=10\left(\sqrt{2}-1\right)$  

Odp. Bok rombu ma długość:  $10\left(\sqrt{2}-1\right).$  

---

Trójkąt HIE jest połówką kwadratu o boku x. Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$b=x\sqrt{2}$  

Odcinek JE jest połową przekątnej kwadratu o boku x, więc:

$\left|JE\right|=\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}\cdot x\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}x$  

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|GJ\right|=\frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{2}$  

Zatem:

$\left|GE\right|=\left|GJ\right|+\left|JE\right|=\frac{x\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x\left(\sqrt{3}+1\right)=\frac{b}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$  

Na podstawie rysunku widzimy, że odcinek GE jest równy połowie długości boku kwadratu ABCD. Stąd:

$\left|GE\right|=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 10=5$  

$\frac{b}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)=5\mid \cdot \frac{2}{\sqrt{3}+1}$  

$b=\frac{10}{\sqrt{3}+1}=\frac{10}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{10\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=\frac{10\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=5\left(\sqrt{3}-1\right)$  

Odp. Bok trójkąta ma długość: $5\left(\sqrt{3}-1\right).$