a)

Zestaw I:

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb.

$\overline{x}=\frac{2+5+6+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6$  

Obliczamy odchylenie standardowe, korzystając z przekształconego wzoru.

$\sigma =\sqrt{\frac{2^2+5^2+6^2+8^2+9^2}{5}-6^2}=\sqrt{\frac{4+25+36+64+81}{5}-36}=\sqrt{\frac{210}{5}-36}=\sqrt{42-36}=\sqrt{6}$  

Zestaw II:

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb.

$\overline{x}=\frac{3+6+7+9+10}{5}=\frac{35}{5}=7$  

Obliczamy odchylenie standardowe, korzystając z przekształconego wzoru.

$\sigma =\sqrt{\frac{3^2+6^2+7^2+9^2+{10}^2}{5}-7^2}=\sqrt{\frac{9+36+49+81+100}{5}-49}=\sqrt{\frac{275}{5}-49}=\sqrt{55-49}=\sqrt{6}$  

---

b)

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb a+k, b+k, c+k i d+k.

${\overline{x}}_2=\frac{a+k+b+k+c+k+d+k}{4}=\frac{4k+a+b+c+d}{4}=\frac{4k}{4}+\frac{a+b+c+d}{4}=k+\frac{a+b+c+d}{4}=k+{\overline{x}}_1$  

Zatem:

${\overline{x}}_2={\overline{x}}_1+k$   

Obliczamy odchylenie standardowe.

${\sigma }_2=\sqrt{\frac{{\left(a+k-{\overline{x}}_2\right)}^2+{\left(b+k-{\overline{x}}_2\right)}^2+{\left(c+k-{\overline{x}}_2\right)}^2+{\left(d+k-{\overline{x}}_2\right)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{{\left(a+k-\left(k+\frac{a+b+c+d}{4}\right)\right)}^2+{\left(b+k-\left(k+\frac{a+b+c+d}{4}\right)\right)}^2+{\left(c+k-\left(k+\frac{a+b+c+d}{4}\right)\right)}^2+{\left(d+k-\left(k+\frac{a+b+c+d}{4}\right)\right)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{{\left(a+k-k-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(b+k-k-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(c+k-k-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(d+k-k-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{{\left(a-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(b-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(c-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2+{\left(d-\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{{\left(a-{\overline{x}}_1\right)}^2+{\left(b-{\overline{x}}_1\right)}^2+{\left(c-{\overline{x}}_1\right)}^2+{\left(d-{\overline{x}}_1\right)}^2}{4}}={\sigma }_1$  

Zatem:

${\sigma }_2={\sigma }_1$