a) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Wyznaczamy długość przekątnej podstawy. Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu.

$d=3\sqrt{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE i wyznaczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

$x^2={\left(\frac{d}{2}\right)}^2+2^2$  

$x^2={\left(3\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2^2$  

$x^2=\frac{9}{2}+4$  

$x^2=\frac{17}{2}$  

$x=\sqrt{\frac{17}{2}}$  

$x=\sqrt{8,5}$  

Odp. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość √8,5.

---

b) Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta FSG i wyznaczamy długość y.

$y^2+2^2=3^2$  

$y^2+4=9\mid -4$  

$y^2=5$  

$y=\sqrt{5}$  

Odp. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość √5.

---

c) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Wyznaczamy długość wysokości podstawy. Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego.

$h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$  

Odcinek oznaczony literą x stanowi dwie trzecie długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 4, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

$x=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASD i wyznaczamy długość z.

$x^2+z^2=5^2$  

${\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2+z^2=5^2$  

$\frac{16}{3}+z^2=25\mid -\frac{16}{3}$  

$z^2=\frac{59}{3}$  

$z=\sqrt{\frac{59}{3}}$  

$z=\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{3}}$  

$z=\frac{\sqrt{177}}{3}$  

Odp. Wysokość ostrosłupa ma długość √177/3.