Oznaczmy:

$W\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2-11x+30$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc:

$W\left(2\right)=0$  

$a\cdot 2^3+b\cdot 2^2-11\cdot 2+30=0$  

$8a+4b-22+30=0$  

$8a+4b+8=0\mid :4$  

$2a+b+2=0$  

$b=-2a-2$  

---

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc:

$W\left(-3\right)=0$  

$a\cdot {\left(-3\right)}^3+b\cdot {\left(-3\right)}^2-11\cdot \left(-3\right)+30=0$  

$-27a+9b+33+30=0$  

$-27a+9b+63=0\mid :9$  

$-3a+b+7=0$  

Podstawiamy b=-2a-2.

$-3a-2a-2+7=0$  

$-5a+5=0$  

$-5a=-5\mid :\left(-5\right)$  

$a=1$  

Wówczas:

$b=-2a-2=-2\cdot 1-2=-2-2=-4$  

---

Dla wyznaczonych wartości a i b wielomian W(x) przyjmuje postać:

$W\left(x\right)=x^3-4x^2-11x+30$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie (x³-4x²-11x+30):(x-2), stosując schemat Hornera:

	1	-4	-11	30
2	1	-2	-15	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2-2x-15\right)$  

---

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+3). Wynika stąd, że wielomian x²-2x-15 jest podzielny przez dwumian (x+3).

Wykonujemy dzielenie (x²-2x-15):(x+3), stosując schemat Hornera:

	1	-2	-15
-3	1	-5	0

---

Otrzymujemy:

$x^2-2x-15=\left(x+3\right)\left(x-5\right)$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-5\right)$  

Z postaci iloczynowej wielomianu W(x) odczytujemy, że trzecim pierwiastkiem wielomianu jest:

$x=5$