a) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość a.

$\cos {45}^{\circ }=\frac{\frac{a}{2}}{6}$  

$\cos {45}^{\circ }=\frac{a}{12}\mid \cdot 12$  

$a=12\cdot \cos {45}^{\circ }$  

$a=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$a=6\sqrt{2}$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość h.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{h}{6}\mid \cdot 6$  

$h=6\cdot \sin {45}^{\circ }$  

$h=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$h=3\sqrt{2}$  

Odcinek oznaczony literą x stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

$x=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości ostrosłupa.

$x^2+H^2=h^2$  

${\left(\sqrt{6}\right)}^2+H^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2$  

$6+H^2=18\mid -6$  

$H^2=12$  

$H=\sqrt{12}$  

$H=2\sqrt{3}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{72\sqrt{3}}{4}=\frac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=36$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=36.$  

---

b) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość H.

$\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{H}{\frac{8}{2}}$  

$\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{H}{4}\mid \cdot 4$  

$H=4\cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }$  

$H=4\cdot \sqrt{3}$  

$H=4\sqrt{3}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

$P_p=a^2=8^2=64$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{3}=\frac{256\sqrt{3}}{3}$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=\frac{256\sqrt{3}}{3}.$  

---

c) Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość a.

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{9}{a}\mid \cdot a$  

$a\cdot \mathrm{tg}{30}^{\circ }=9\mid :\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$a=\frac{9}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}$  

$a=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$  

$a=\frac{27}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{27\sqrt{3}}{3}$  

$a=9\sqrt{3}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{{\left(9\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{2}=3\cdot \frac{243\sqrt{3}}{2}=\frac{729\sqrt{3}}{2}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{729\sqrt{3}}{2}\cdot 9=\frac{2187\sqrt{3}}{2}$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=\frac{2187\sqrt{3}}{2}.$