a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

 

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość d.

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{10}{d}\mid \cdot d$  

$d\cdot \mathrm{tg}{30}^{\circ }=10\mid :\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$d=\frac{10}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}$  

$d=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$  

$d=\frac{30}{\sqrt{3}}$  

$d=\frac{30\sqrt{3}}{3}$  

$d=10\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość a. Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu.

$d=a\sqrt{2}$  

$10\sqrt{3}=a\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=a$  

$a=\frac{10\sqrt{6}}{2}$  

$a=5\sqrt{6}$  

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa.

$P_p=a^2$  

$P_p={\left(5\sqrt{6}\right)}^2=150$  

Obliczamy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot h$  

$V=150\cdot 10=1500$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=1500.$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość h.

$\cos {45}^{\circ }=\frac{h}{12}\mid \cdot 12$  

$h=12\cdot \cos {45}^{\circ }$  

$h=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$h=6\sqrt{2}$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość a.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{a}{12}\mid \cdot 12$  

$a=12\cdot \sin {45}^{\circ }$  

$a=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$a=6\sqrt{2}$  

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa. 

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot h$  

$V=18\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{2}=108\sqrt{6}$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=108\sqrt{6}.$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość h.

$\sin {60}^{\circ }=\frac{h}{9}\mid \cdot 9$  

$h=9\cdot \sin {60}^{\circ }$  

$h=9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$h=\frac{9\sqrt{3}}{2}$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość a.

$\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{h}{2a}\mid \cdot 2a$  

$2a\cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }=h\mid :2\mathrm{tg}{60}^{\circ }$  

$a=\frac{h}{2\mathrm{tg}{60}^{\circ }}$  

$a=\frac{h}{2\cdot \sqrt{3}}$  

$a=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{2}}{2\cdot \sqrt{3}}$  

$a=\frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}$  

$a=\frac{9}{4}$  

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa. 

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=6\cdot \frac{{\left(\frac{9}{4}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{\frac{81\sqrt{3}}{16}}{2}=3\cdot \frac{81\sqrt{3}}{32}=3\cdot \frac{81\sqrt{3}}{32}=\frac{243\sqrt{3}}{32}$  

Obliczamy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot h$  

$V=\frac{243\sqrt{3}}{32}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{6561}{64}$  

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=\frac{6561}{64}.$