a) Wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{3}{5},\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{9}{25}=\frac{25}{25}\mid -\frac{9}{25}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{16}{25}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{4}{5}$  

Ponieważ sinus kąta ostrego jest dodatni, więc pomijamy ujemne rozwiązanie.

$\sin \alpha =\frac{4}{5}$  

Wyznaczamy tangensa kąta 𝛼.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$  

---

b) Wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{1}{3},\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{1}{9}+{\cos }^2\alpha =\frac{9}{9}\mid -\frac{1}{9}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{8}{9}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Ponieważ cosinus kąta ostrego jest dodatni, więc pomijamy ujemne rozwiązanie.

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Wyznaczamy tangensa kąta 𝛼.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  

---

c) Wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{2}{7},\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{2}{7}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{4}{49}+{\cos }^2\alpha =\frac{49}{49}\mid -\frac{4}{49}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{45}{49}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{3\sqrt{5}}{7}$  

Ponieważ cosinus kąta ostrego jest dodatni, więc pomijamy ujemne rozwiązanie.

$\cos \alpha =\frac{3\sqrt{5}}{7}$  

Wyznaczamy tangensa kąta 𝛼.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}=\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$  

---

d) Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{13},\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  

Korzystamy ze wzoru na tangensa kąta 𝛼.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\frac{12}{13}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\mid \cdot \cos \alpha$  

$\frac{12}{13}\cos \alpha =\sin \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{12}{13}\cos \alpha$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{12}{13}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{144}{169}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{313}{169}{\cos }^2\alpha =1\mid :\frac{313}{169}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{169}{313}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{13}{\sqrt{313}}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{13\sqrt{313}}{313}$  

Ponieważ cosinus kąta ostrego jest dodatni, więc pomijamy ujemne rozwiązanie.

$\cos \alpha =\frac{13\sqrt{313}}{313}$  

Wyznaczamy sinusa kąta 𝛼.

$\sin \alpha =\frac{12}{13}\cos \alpha =\frac{12}{13}\cdot \frac{13\sqrt{313}}{313}=\frac{12\sqrt{313}}{313}$