a) Jeden z boków trójkąta równobocznego jest średnicą koła. Promień koła jest dwa razy krótszy od średnicy tego koła, zatem promień pierwszego koła ma długość 4. Pole tego koła wynosi: 

$P_1=\pi \cdot 4^2=16\pi$  

Korzystając ze wzorów podanych na stronie 157, wyznaczamy długości promieni okręgu opisanego i okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 8.

$R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

$r=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

Obliczamy pole pierścienia.

$P_2=\pi R^2-\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2-\pi \cdot {\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{64}{3}\pi -\frac{16}{3}\pi =\frac{48}{3}\pi =16\pi$  

Stąd otrzymujemy, że:

$P_1=16\pi =P_2$  

Odp. Koło i pierścień mają takie same pola.

---

b) Jeden z boków sześciokąta foremnego jest średnicą koła. Promień koła jest dwa razy krótszy od średnicy tego koła, zatem promień pierwszego koła ma długość 2,5. Pole tego koła wynosi:

$P_1=\pi \cdot {2,5}^2=6,25\pi$  

Korzystając ze wzorów podanych na stronie 157, wyznaczamy długości promieni okręgu opisanego i okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości 5.

$R=5$  

$r=\frac{5\sqrt{3}}{2}$  

Obliczamy pole pierścienia.

$P_2=\pi R^2-\pi r^2=\pi \cdot 5^2-\pi \cdot {\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2=25\pi -\frac{75}{4}\pi =\frac{100}{4}\pi -\frac{75}{4}\pi =\frac{25}{4}\pi =6\frac{1}{4}\pi =6,25\pi$  

Stąd otrzymujemy, że:

$P_1=6,25\pi =P_2$  

Odp. Koło i pierścień mają takie same pola.