Lewa strona nierówności ma postać trójmianu

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  

gdzie:

$a=1,b=mc=4$  

Nierówność  $x^2+mx+4>0$  jest nierównością kwadratową, na której istnienie rozwiązania ma wpływ wyróżnik  $\Delta$

Obliczmy wartość tego wyróżnika:

$\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-16$  

zatem jeśli:

$\Delta =0$  to:

$m^2-16=0$  

$\left(m-4\right)\left(m+4\right)=0$  czyli:

$m_1=-4,m_2=4$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Rozpatrujemy przypadki:

$1\text{)}\Delta =0$  gdy  $m=-4$  lub  $m=4$  

• $m=-4$  to  $x^2-4x+4>0$  czyli  ${\left(x-2\right)}^2>0$  zatem  $x\ne 2$  
• $m=4$  to  $x^2+4x+4>0$  czyli  ${\left(x+2\right)}^2>0$  zatem  $x\ne -2$  

 

$2\text{)}\Delta <0$  gdy  $m\in \left(-4,4\right)$  

$m\in \left(-4,4\right)$  to  $x\in \mathbb{R}$  

 

$3\text{)}\Delta >0$  gdy  $m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

• $m\in \left(-\infty ,-4\right)$  to:

        $x_1=\frac{-m-\sqrt{m^2-16}}{2},x_2=\frac{-m+\sqrt{m^2-16}}{2}$  

       więc   $0<x_1<x_2$  

• $m\in \left(4,+\infty \right)$  to:

        $x_1=\frac{-m-\sqrt{m^2-16}}{2},x_2=\frac{-m+\sqrt{m^2-16}}{2}$  

       więc   $x_1<x_2<0$  

Zatem gdy:  $m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  to:

$x\in \left(-\infty ,\frac{-m-\sqrt{m^2-16}}{2}\right)\cup \left(\frac{-m+\sqrt{m^2-16}}{2},+\infty \right)$  

 

Odp.:  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  gdy  $m=-4$   $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$   gdy  $m=4$  ,  $x\in \mathbb{R}$  gdy  $m\in \left(-4,4\right)$  ,  $x\in \left(-\infty ,\frac{-m-\sqrt{m^2-16}}{2}\right)\cup \left(\frac{-m+\sqrt{m^2-16}}{2},+\infty \right)$  gdy  $m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  .