$\text{a)}{\left(\frac{x+2}{x-4}\right)}^2-6\cdot \frac{x+2}{x-4}+9=0$  

Założenia: 

$x-4\ne 0$  

$x\ne 4$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$\frac{x+2}{x-4}=t$  

Równanie ma więc postać: 

$t^2-6t+9=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$  

$t_0=\frac{-\left(-6\right)}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

Mamy więc: 

$\frac{x+2}{x-4}=3$  

$x+2=3\left(x-4\right)$  

$x+2=3x-12$   

$-2x=-14\mid :\left(-2\right)$   

$x=7$   

Odpowiedź: 

${\mathbf{x}}_0=7$  

 

---

$\text{b)}{\left(\frac{x}{x+3}\right)}^2+\frac{x}{x+3}-2=0$  

Założenia: 

$x+3\ne 0$   

$x\ne -3$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$\frac{x}{x+3}=t$  

Równanie ma postać: 

$t^2+t-2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$t_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2$  

$t_2=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

Mamy więc: 

$\frac{x}{x+3}=-2\text{lub}\frac{x}{x+3}=1$     

$x=-2\left(x+3\right)\text{lub}x=x+3,\text{sprzecznosˊcˊ}$    

$x=-2x-6\mid +2x$   

$3x=-6\mid :3$  

$x=-2$  

Odpowiedź: 

${\mathbf{x}}_0=-2$  

 

---

$\text{c)}{x}^2-4x-\frac{15}{x^2-4x}=2$  

Założenia: 

$x^2-4x\ne 0$  

$x\left(x-4\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x-4\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 4$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^2-4x=t,t\ne 0$  

Równanie ma postać: 

$t-\frac{15}{t}=2$  

$t-\frac{15}{t}-2=0$  

$t^2-2t-15=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$  

$t_1=\frac{-\left(-2\right)-8}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$t_2=\frac{-\left(-2\right)+8}{2\cdot 1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Mamy więc: 

$x^2-4x=-3\text{lub}{x}^2-4x=5$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie. 

$x^2-4x=-3$  

$x^2-4x+3=0$  

${\Delta }_I={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$  

$\sqrt{{\Delta }_I}=\sqrt{4}=2$    

$x_{I1}=\frac{-\left(-4\right)-2}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_{I2}=\frac{-\left(-4\right)+2}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$   

Rozwiązujemy drugie równanie. 

$x^2-4x=5$  

$x^2-4x-5=0$  

${\Delta }_{\text{II}}={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$  

$\sqrt{{\Delta }_{\text{II}}}=\sqrt{36}=6$   

$x_{\text{II1}}=\frac{-\left(-4\right)-6}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_{\text{II2}}=\frac{-\left(-4\right)+6}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Odpowiedź: 

$\mathbf{x}\in \left\{-1,1,3,5\right\}$  

 

---

$\text{d)}\frac{x^2-6x+3}{4}-\frac{5}{x^2-6x+3}=2$   

Założenia: 

$x^2-6x+3\ne 0$  

Rozwiążmy równanie pomocnicze: 

$x^2-6x+3=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=36-12=24$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  

$x_1=\frac{-\left(-6\right)-2\sqrt{6}}{2\cdot 1}=\frac{6-2\sqrt{6}}{2}=3-\sqrt{6}$  

$x_2=\frac{-\left(-6\right)+2\sqrt{6}}{2\cdot 1}=\frac{6+2\sqrt{6}}{2}=3+\sqrt{6}$  

Zatem (wracając do założeń): 

$x\ne 3-\sqrt{6}\wedge x\ne 3+\sqrt{6}$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^2-6x+3=t,t\ne 0$  

Równanie ma postać: 

$\frac{t}{4}-\frac{5}{t}=2$  

$\frac{t}{4}-\frac{5}{t}-2=0\mid \cdot 4$  

$t-\frac{20}{t}-8=0\mid \cdot t$  

$t^2-8t-20=0$  

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=64+80=144$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{144}=12$  

$t_1=\frac{-\left(-8\right)-12}{2\cdot 1}=\frac{8-12}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$t_2=\frac{-\left(-8\right)+12}{2\cdot 1}=\frac{8+12}{2}=\frac{20}{2}=10$  

Mamy więc: 

$x^2-6x+3=-2\text{lub}{x}^2-6x+3=10$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie. 

$x^2-6x+3=-2\mid +2$  

$x^2-6x+5=0$  

${\Delta }_{\text{I}}={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$  

$\sqrt{{\Delta }_{\text{I}}}=\sqrt{16}=4$  

$x_{\text{I1}}=\frac{-\left(-6\right)-4}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_{\text{I2}}=\frac{-\left(-6\right)+4}{2\cdot 1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Rozwiązujemy drugie równanie: 

$x^2-6x+3=10\mid -10$  

$x^2-6x-7=0$  

${\Delta }_{\text{II}}={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-7\right)=36+28=64$  

$\sqrt{{\Delta }_{\text{II}}}=\sqrt{64}=8$  

$x_{\text{II1}}=\frac{-\left(-6\right)-8}{2\cdot 1}=\frac{6-8}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_{\text{II2}}=\frac{-\left(-6\right)+8}{2\cdot 1}=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$  

Odpowiedź: 

$\mathbf{x}\in \left\{-1,1,5,7\right\}$  

 

---

$\text{e)}\frac{3x^2-9x}{2}-\frac{12}{x^2-3x}=3$   

Uwaga!!! W mianowniku drugiego ułamka powinno być x² - 3x zamiast x³ - 3x. 

$\frac{3x\left(x-3\right)}{2}-\frac{12}{x\left(x-3\right)}=3$  

Założenia: 

$x\left(x-3\right)\ne 0$    

$x\ne 0\wedge x-3\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 3$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^2-3x=t,t\ne 0$  

Równanie ma postać: 

$\frac{3t}{2}-\frac{12}{t}=3\mid \cdot 2$  

$3t-\frac{24}{t}=6\mid \cdot t$   

$3t^2-24=6t\mid -6t$  

$3t^2-6t-24=0\mid :3$

$t^2-2t-8=0$   

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$  

$t_1=\frac{-\left(-2\right)-6}{2\cdot 1}=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$t_2=\frac{-\left(-2\right)+6}{2\cdot 1}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Mamy więc: 

$x^2-3x=-2\text{lub}{x}^2-3x=4$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie. 

$x^2-3x=-2$

$x^2-3x+2=0$   

${\Delta }_{\text{I}}={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$

$\sqrt{{\Delta }_{\text{I}}}=\sqrt{1}=1$   

$x_{\text{I1}}=\frac{-\left(-3\right)-1}{2\cdot 1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_{\text{I2}}=\frac{-\left(-3\right)+1}{2\cdot 1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Rozwiązujemy drugie równanie. 

$x^2-3x=4$  

$x^2-3x-4=0$  

${\Delta }_{\text{II}}={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$\sqrt{{\Delta }_{\text{II}}}=\sqrt{25}=5$  

$x_{\text{II1}}=\frac{-\left(-3\right)-5}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$x_{\text{II2}}=\frac{-\left(-3\right)+5}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$   

Odpowiedź: 

$\mathbf{x}\in \left\{-1,1,2,4\right\}$  

 

---

$\text{f)}3\cdot \frac{x-1}{x+1}-68{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^2+11=0$  

Założenia: 

$x+1\ne 0\wedge x-1\ne 0$  

$x\ne -1\wedge x\ne 1$    

Przyjmijmy oznaczenie:

$t=\frac{x-1}{x+1}$

Wtedy równanie ma postać

$3t-68t^2+11=0$

$-68t^2+3t+11=0$

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-68\right)\cdot 11=3001$

$t_1=\frac{-3+\sqrt{3001}}{2\cdot \left(-68\right)}=\frac{-3+\sqrt{3001}}{-136}=\frac{3-\sqrt{3001}}{136}$

$t_2=\frac{-3-\sqrt{3001}}{2\cdot \left(-68\right)}=\frac{-3-\sqrt{3001}}{-136}=\frac{3+\sqrt{3001}}{136}$

Zwróćmy uwagę, że

$t=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

$\frac{2}{x+1}=1-t$

$\frac{x+1}{2}=\frac{1}{1-t}$

$x=\frac{2}{1-t}-1$

Wyznaczymy rozwiązania $x_1$ i $x_2$.

$x_1=\frac{2}{1-t_1}-1=\frac{2}{1-\frac{3-\sqrt{3001}}{136}}-1=\frac{2}{\frac{133}{136}+\frac{\sqrt{3001}}{136}}-1=\frac{272}{133+\sqrt{3001}}-1=\frac{272-133-\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}}=\frac{139-\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}}$

$x_2=\frac{2}{1-t_2}-1=\frac{2}{1-\frac{3+\sqrt{3001}}{136}}-1=\frac{2}{\frac{133}{136}-\frac{\sqrt{3001}}{136}}-1=\frac{272}{133-\sqrt{3001}}-1=\frac{272-133+\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}}=\frac{139+\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}}$

Odpowiedź: 

$\mathbf{x}\in \left\{\frac{139-\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}},\frac{139+\sqrt{3001}}{133+\sqrt{3001}}\right\}$