$\text{a)}\frac{4}{1-x}>0$  

Założenia: 

$1-x\ne 0$  

$1\ne x$  

Mamy więc (licznik jest dodatni, więc aby wyrażenie miało wartość dodatnią mianownik musi być dodatni): 

$1-x>0$  

$1>x$  

Zatem: 

$\mathbf{x}\in \left(-\infty ,1\right)$  

 

---

$\text{b)}x<\frac{1}{x}$  

Założenia: 

$x\ne 0$  

Mamy więc: 

$x<\frac{1}{x}$  

$x-\frac{1}{x}<0$  

$\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}<0$  

$\frac{x^2-1}{x}<0$  

$\left(x^2-1\right)\cdot x<0$  

$\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}<0$  

Sporządźmy linię znaku dla wielomianu V(x).   

Zatem: 

$\mathbf{x}\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,1\right)$  

 

---

$\text{c)}\frac{1}{x}\ge 2x$  

Założenia: 

$x\ne 0$  

Mamy więc: 

$\frac{1}{x}-2x\ge 0$  

$\frac{1}{x}-\frac{2x^2}{x}\ge 0$  

$\frac{1-2x^2}{x}\ge 0$  

$\left(1-2x^2\right)\cdot x\ge 0\text{i}x\ne 0$  

$\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{x\left(1-\sqrt{2}x\right)\left(1+\sqrt{2}x\right)}}\ge 0\text{i}x\ne 0$   

Sporządzamy linię znaku dla wielomianu V(x) i x ≠ 0. 

$\mathbf{x}\in (-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2}⟩\cup (0,\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$  

 

---

$\text{d)}x+1\ge \frac{1}{x+1}$  

Założenia: 

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

Mamy więc: 

$x+1\ge \frac{1}{x+1}$  

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x+1}\ge \frac{1}{x+1}$  

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}\ge 0$  

$\frac{{\left(x+1\right)}^2-1}{x+1}\ge 0$  

$\frac{x^2+2x+1-1}{x+1}\ge 0$  

$\frac{x^2+2x}{x+1}\ge 0$  

$\left(x^2+2x\right)\left(x+1\right)\ge 0\text{i}x+1\ne 0$  

$\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)}}\ge 0\text{i}x\ne -1$  

Sporządzamy linię znaku dla wielomianu V(x) i x ≠ -1. 

 

$\mathbf{x}\in ⟨-2,-1)\cup ⟨0,\infty )$