Dziedziną podanego wyrażenia wymiernego będzie zbiór R, gdy równanie  $m{x}^2-6x+m=0$  nie będzie miało pierwiastków. 

Przyjmijmy, że: 

$f\left(x\right)=m{x}^2-6x+m$  

Funkcja nie będzie miała miejsc zerowych, jeśli jej wykres będzie znajdował się całkowicie nad osią x (a > 0, △ < 0) lub jej wykres będzie znajdował się całkowicie pod osią x (a < 0, △ < 0). 

1^o  m = 0 

Funkcja f ma wtedy postać: 

$f\left(x\right)=-6x$  

Funkcja f ma miejsce zerowe. 

Oznacza to, że m nie może być równe 0. 

2^o  a > 0, czyli m > 0 

oraz:

$\Delta <0\iff {\left(-6\right)}^2-4\cdot m\cdot m<0\iff 36-4m^2<0$   

Rozwiążmy równanie pomocnicze 36 - 4m² = 0.  

$36-4m^2=0\mid :4$

$9-m^2=0$    

$\left(3-m\right)\left(3+m\right)=0$  

$3-m=0\vee 3+m=0$   

$3=m\vee m=-3$  

Wracając do nierówności mamy: 

$m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,\infty \right)$    

Ostatecznie otrzymujemy, że  $\left[m>0\text{i}m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,\infty \right)\right]$   : 

$m\in \left(3,\infty \right)$  

3^o  a < 0, czyli m < 0 

oraz: 

$\Delta <0\iff 36-4m^2<0$  

Otrzymujemy (korzystając z rozwiązania 2^o), że: 

$m\in \left(-\infty ,-3\right)$    

Dziedziną wyrażenie jest zbiór R, gdy: 

$\mathbf{m}\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,\infty \right)$