$a\text{)}{x}^2+mx-2m-4=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełniony warunek:

$1\text{)}\Delta =0$  

lub:

$2\text{)}\Delta >0$  

$\Delta =m^2-4\cdot \left(-2m-4\right)=m^2+8m+16={\left(m+4\right)}^2$  

zatem:  

$1\text{)}\Delta =0$  

${\left(m+4\right)}^2=0$  

$m+4=0$  

$m=-4$  

czyli:

$x^2-4x-2\cdot \left(-4\right)-4=0$  

$x^2-4x+4=0$  

${\left(x-2\right)}^2=0$  

$x=2$  

 

$2\text{)}\Delta >0$  

${\left(m+4\right)}^2>0$  

$\left|m+4\right|>0$  

$m\ne -4$  

czyli:

$x_1=\frac{-m-{\sqrt{m+4}}^2}{2}=\frac{-m-\left|m+4\right|}{2}$  

zatem:

$x_{1_1}=\frac{-m-\left(m+4\right)}{2}=\frac{-m-m-4}{2}=\frac{-2m-4}{2}=-m-2$  

$x_{1_2}=\frac{-m-\left(-\left(m+4\right)\right)}{2}=\frac{-m+m+4}{2}=\frac{4}{2}=2$  

 

$x_2=\frac{-m-{\sqrt{m+4}}^2}{2}=\frac{-m+\left|m+4\right|}{2}$  

zatem:

$x_{2_1}=\frac{-m+\left(m+4\right)}{2}=\frac{-m+m+4}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$x_{2_2}=\frac{-m+\left(-\left(m+4\right)\right)}{2}=\frac{-m-m-4}{2}=\frac{-2m-4}{2}=-m-2$  

 

Odp.: Rozwiązania tego równania to: x=2, gdy m=-4; x₁=2 i x₂=-m-2, gdy m≠-4.

---

$b\text{)}\left(m-3\right)x^2+\left(m-2\right)x+1=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełnione warunki:

  $1\text{)}m-3=0\text{i}m-2\ne 0$  

lub:

$2\text{)}m-3\ne 0\text{i}\Delta =0$  

lub:

$3\text{)}m-3\ne 0\text{i}\Delta >0$  

$\Delta ={\left(m-2\right)}^2-4\cdot \left(m-3\right)\cdot 1=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16={\left(m-4\right)}^2$  

zatem:  

$1\text{)}m=3\text{i}m\ne 2$  

czyli:

$x+1=0$  

$x=-1$  

lub:

$2\text{)}m\ne 3\text{i}{\left(m-4\right)}^2=0$  

$m\ne 3\text{i}m=4$  

czyli:

$x^2+2x+1=0$  

${\left(x+1\right)}^2=0$  

$x+1=0$  

$x=-1$  

lub:

$3\text{)}m\ne 3\text{i}{\left(m-4\right)}^2>0$  

$m\ne 3\text{i}m\ne 4$  

czyli:

$x_1=\frac{-\left(m-2\right)-{\sqrt{m-4}}^2}{2\left(m-3\right)}=\frac{-m+2-\left|m-4\right|}{2m-6}=$  

$=\frac{-m+2-m+4}{2m-6}=\frac{-2m+6}{2m-6}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(m-2\right)+{\sqrt{m-4}}^2}{2\left(m-3\right)}=\frac{-m+2+\left|m-4\right|}{2m-6}=$  

$=\frac{-m+2+m-4}{2m-6}=\frac{-2}{2m-6}=\frac{1}{-m+3}=\frac{1}{3-m}$   

*Z poprzedniego podpunktu możemy wnioskować, iż gdybyśmy rozpatrywali po dwa przypadki "opuszczając wartość bezwzględną" to otrzymamy te same wyniki.

 

Odp.: Rozwiązania tego równania to: x=-1, gdy m=3 lub m=4; x₁=-1 i x₂=¹/_(3-m), gdy m≠3 i m≠4.

---

$c\text{)}{x}^2+mx+4=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełniony warunek:

$1\text{)}\Delta =0$  

lub:

$2\text{)}\Delta >0$  

$\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-16$  

zatem:  

$1\text{)}\Delta =0$  

$m^2-16=0$  

$\left(m+4\right)\left(m-4\right)=0$  

$m=-4\text{lub}m=4$  

czyli:

$x^2-4x+4=0$  

${\left(x-2\right)}^2=0$  

$x-2=0$  

$x=2$  

lub:

$x^2+4x+4=0$  

${\left(x+2\right)}^2=0$  

$x+2=0$  

$x=-2$  

 

$2\text{)}\Delta >0$  

$m^2-16>0$  

$\left(m+4\right)\left(m-4\right)>0$  

$m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

czyli:

$x_1=\frac{-m-\sqrt{m^2-16}}{2}$

$x_2=\frac{-m+\sqrt{m^2-16}}{2}$  

 

Odp.: Rozwiązania tego równania to: x=2, gdy m=-4; to: x=-2, gdy m=4; x₁=(-m-√(m^2-16))/2 i x₂=(-m+√(m^2-16)/2, gdy m∈ (-∞, -4) ∪ (4, +∞).

---

$d\text{)}-m{x}^2+\left(m-2\right)x+1=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełnione warunki:

  $1\text{)}-m=0\text{i}m-2\ne 0$  

lub:

$2\text{)}-m\ne 0\text{i}\Delta =0$  

lub:

$3\text{)}-m\ne 0\text{i}\Delta >0$  

$\Delta ={\left(m-2\right)}^2-4\cdot \left(-m\right)\cdot 1=m^2-4m+4+4m=m^2+4$  

zatem:  

$1\text{)}m=0\text{i}m\ne 2$  

czyli:

$-2x+1=0$  

$x=\frac{1}{2}$  

lub:

$2\text{)}m\ne 0\text{i}{m}^2+4=0$  

$m\ne 0\text{i}{m}^2+4>0m\in \mathbb{R}$  

więc:  $m\in \varnothing$  

 

$3\text{)}m\ne 0\text{i}{m}^2+4>0$  

$m\ne 0\text{i}\min \mathbb{R}$  

$m\ne 0$  

czyli:

$x_1=\frac{-\left(m-2\right)-\sqrt{m^2+4}}{-2m}=\frac{-m+2-\sqrt{m^2+4}}{-2m}=\frac{m-2+\sqrt{m^2+4}}{2m}$  

$x_2=\frac{-\left(m-2\right)+\sqrt{m^2+4}}{-2m}=\frac{-m+2+\sqrt{m^2+4}}{-2m}=\frac{m-2-\sqrt{m^2+4}}{2m}$  

 

Odp.: Rozwiązania tego równania to: x=¹/₂, gdy m=0; x₁=(m-2+sqrt(m^2+4))/(2m) i x₂=(m-2-sqrt(m^2+4))/(2m), gdy m≠0.

---

$e\text{)}\left(m^2+1\right)x^2-x+2=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełnione warunki:

  $1\text{)}{m}^2+1=0$  

lub:

$2\text{)}{m}^2+1\ne 0\text{i}\Delta =0$  

lub:

$3\text{)}{m}^2+1\ne 0\text{i}\Delta >0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(m^2+1\right)\cdot 2=1-8m^2-8=-8m^2-7$  

zatem:  

$1\text{)}{m}^2+1=0$  

$m^2=-1$  

równanie sprzeczne, zatem:

$m\in \varnothing$  

lub:

$2\text{)}{m}^2+1\ne 0\text{i}-8m^2-7=0$  

$m\in \mathbb{R}\text{i}-8m^2=7$  

$m\in \mathbb{R}\text{i}{m}^2=-\frac{7}{8}$  

więc:  $m\in \varnothing$  

 

$3\text{)}{m}^2+1\ne 0\text{i}-8m^2-7>0$  

$mi\mathbb{R}\text{i}{m}^2<-\frac{7}{8}$  

$m\in \varnothing$  

Odp.: To równanie nie ma rozwiązania.

---

$f\text{)}{\left(m-1\right)}^2{x}^2+4\left(m-1\right)x+4=0$  

Aby to równanie miało rozwiązanie musi być spełnione warunki:

  $1\text{)}{\left(m-1\right)}^2=0\text{i}4\left(m-1\right)\ne 0$  

lub:

$2\text{)}{\left(m-1\right)}^2\ne 0\text{i}\Delta =0$  

lub:

$3\text{)}{\left(m-1\right)}^2\ne 0\text{i}\Delta >0$  

$\Delta ={\left(4\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot {\left(m-1\right)}^2\cdot 4=\left(16\left(m^2+2m+1\right)\right)-16{\left(m-1\right)}^2=$  

$=16m^2+32m+16-16m^2-32m-16=0$  

zatem:  

$1\text{)}{\left(m-1\right)}^2=0\text{i}4\left(m-1\right)\ne 0$  

$m=1\text{i}m\ne 1$  

czyli:

$m\in \varnothing$  

 

lub:

$2\text{)}m\ne 1\text{i}0=0$  

$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

czyli:

$x=\frac{-4\left(m-1\right)}{2{\left(m-1\right)}^2}=-\frac{2}{m-1}$  

lub:

$3\text{)}m\ne 1\text{i}0>0$  

$m\in \varnothing$  

 

Odp.: Rozwiązanie tego równania to: x=-2/(m-1), gdy m≠1.