Mamy dany okrąg:

$x^2+y^2-2x+6y+5=0$  

Wyznaczmy współrzędne środka i długość promienia tego okręgu:

$x^2-2x+1+y^2+6y+9-5=0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=5$  

zatem:

$S=\left(1,-3\right),r=\sqrt{5}$  

 

Przedstawmy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$2x-y+m=0$  

 

a) Obliczmy dla jakich wartości parametru m prosta l jest styczną danego okręgu:

$\frac{\left|2\cdot 1-\left(-3\right)+m\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$  

$\left|5+m\right|=5$  

zatem:

$5+m=5\text{lub}5+m=-5$  

$m=0\text{lub}m=-10$  

---

b) Obliczmy dla jakich wartości parametru m prosta l jest sieczną danego okręgu:

$\frac{\left|2\cdot 1-\left(-3\right)+m\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}<\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{4+1}}<\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{5}}<\sqrt{5}$  

$\left|5+m\right|<5$  

zatem:

$5+m<5\text{i}5+m>-5$  

$m<0\text{i}m>-10$  

więc:

$m\in \left(-10,0\right)$  

---

c) Obliczmy dla jakich wartości parametru m prosta l jest zewnętrzną danego okręgu:

$\frac{\left|2\cdot 1-\left(-3\right)+m\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}>\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{4+1}}>\sqrt{5}$  

$\frac{\left|5+m\right|}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}$  

$\left|5+m\right|>5$  

zatem:

$5+m>5\text{lub}5+m<-5$  

$m>0\text{lub}m<-10$  

więc:

$m\in \left(-\infty ,-10\right)\cup \left(0,+\infty \right)$