$\text{a)}{x}^6-9x^3+8=0$  

Przyjmijmy, że: 

$x^3=t$  

Równanie ma wtedy postać: 

$t^2-9t+8=0$  

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$t_1=\frac{-\left(-9\right)-7}{2\cdot 1}=\frac{9-7}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t_2=\frac{-\left(-9\right)+7}{2\cdot 1}=\frac{9+7}{2}=\frac{16}{2}=8$  

Mamy więc: 

$x^3=1\vee x^3=8$    

$x=\sqrt[3]{1}\vee x=\sqrt[3]{8}$  

$x=1\vee x=2$  

Ostateczna odpowiedź: 

${\mathbf{x}}_1=1,{\mathbf{x}}_2=2$     

 

---

$\text{b)}{x}^6-7x^3+6=0$  

Przyjmijmy, że: 

$x^3=t$  

Równanie ma wtedy postać: 

$t^2-7t+6=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$t_1=\frac{-\left(-7\right)-5}{2\cdot 1}=\frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t_2=\frac{-\left(-7\right)+5}{2\cdot 1}=\frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Mamy więc: 

$x^3=1\vee x^3=6$   

$x=\sqrt[3]{1}\vee x=\sqrt[3]{6}$  

$x=1\vee x=\sqrt[3]{6}$  

Ostateczna odpowiedź: 

${\mathbf{x}}_1=1,{\mathbf{x}}_2=\sqrt[3]{6}$   

 

---

$\text{c)}{x}^8-17x^4+16=0$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^4=t,t\ge 0$  

Równanie ma postać: 

$t^2-17t+16=0$  

$\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot 1\cdot 16=289-64=225$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{225}=15$  

$t_1=\frac{-\left(-17\right)-15}{2\cdot 1}=\frac{17-15}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t_2=\frac{-\left(-17\right)+15}{2\cdot 1}=\frac{17+15}{2}=\frac{32}{2}=16$  

Mamy więc: 

$x^4=1\vee x^4=16$      

$x=-\sqrt[4]{1}\vee x=\sqrt[4]{1}\vee x=-\sqrt[4]{16}\vee x=\sqrt[4]{16}$  

$x=-1\vee x=1\vee x=-2\vee x=2$     

Ostateczne rozwiązanie: 

${\mathbf{x}}_1=-2,{\mathbf{x}}_2=-1,{\mathbf{x}}_3=1,{\mathbf{x}}_4=2$       

 

---

$\text{d)}{x}^8+15x^4-16=0$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^4=t,t\ge 0$  

Równanie ma wtedy postać: 

$t^2+15t-16=0$  

$\Delta ={15}^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=225+64=289$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{289}=17$  

$t_1=\frac{-15-17}{2\cdot 1}=\frac{-32}{2}=-16\text{sprzecznosˊcˊ, bo}t\ge 0$  

$t_2=\frac{-15+17}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

Mamy więc: 

$x^4=1$  

$x=-\sqrt[4]{1}\vee x=\sqrt[4]{1}$  

$x=-1\vee x=1$  

Ostateczne rozwiązanie: 

${\mathbf{x}}_1=-1,{\mathbf{x}}_2=1$     

 

---

$\text{e)}{\left(x+1\right)}^{10}-5{\left(x+1\right)}^5+4=0$  

Przyjmijmy, że: 

${\left(x+1\right)}^5=t$  

Równanie ma wtedy postać: 

$t^2-5t+4=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$t_1=\frac{-\left(-5\right)-3}{2\cdot 1}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t_2=\frac{-\left(-5\right)+3}{2\cdot 1}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Mamy więc: 

${\left(x+1\right)}^5=1\vee {\left(x+1\right)}^5=4$  

$x+1=1\vee x+1=\sqrt[5]{4}$  

$x=0\vee x=\sqrt[5]{4}-1$       

Ostateczne rozwiązanie: 

${\mathbf{x}}_1=0,{\mathbf{x}}_2=\sqrt[5]{4}-1$  

 

---

$\text{f)}\frac{8}{x^6}-\frac{7}{x^3}-1=0,x\ne 0$  

Przyjmijmy oznaczenia: 

$x^3=t,t\ne 0$  

Równanie ma postać: 

$\frac{8}{t^2}-\frac{7}{t}-1=0\mid \cdot t^2$  

$8-7t-t^2=0$  

$-t^2-7t+8=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 8=49+32=81$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$  

$t_1=\frac{-\left(-7\right)-9}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{7-9}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$  

$t_2=\frac{-\left(-7\right)+9}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{7+9}{-2}=\frac{16}{-2}=-8$  

Mamy więc: 

$x^3=1\vee x^3=-8$    

$x=\sqrt[3]{1}\vee x=\sqrt[3]{-8}$  

$x=1\vee x=-2$  

Ostateczne rozwiązanie: 

${\mathbf{x}}_1=-2,{\mathbf{x}}_2=1$