$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{1-x^2}$  

Zał:

$1-x^2\ne 0$  

$x\ne 1,x\ne -1$  

 

Wiemy, że funkcja f ma w punkcie x=0 ekstremum równe 1, zatem: 

$f\left(0\right)=1$  

$\frac{a\cdot 0+b}{1-0^2}=1$  

$b=1$  

 

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(ax+1\right){}^{\prime }\left(1-x^2\right)-\left(ax+1\right)\left(1-x^2\right){}^{\prime }}{{\left(1-x^2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{a\left(1-x^2\right)-\left(ax+1\right)\cdot \left(-2x\right)}{{\left(1-x^2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{a-a{x}^2+2a{x}^2+2x}{{\left(1-x^2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{a{x}^2+2x+a}{{\left(1-x^2\right)}^2}$  

Wiemy, że funkcja f ma w punkcie x=0 ekstremum, zatem:

$f{}^{\prime }\left(0\right)=0$  

$\frac{a\cdot 0^2+2\cdot 0+a}{{\left(1-0^2\right)}^2}=0$  

$a=0$  

 

Zatem mamy:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x}{{\left(1-x^2\right)}^2}$  

Łatwo zauważyć, że:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff x>0$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x<0$  

Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziałach  $⟨0,1),\left(1,+\infty \right),$   funkcja f jest malejąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-1\right),(-1,0⟩.$