$f\left(x\right)=x^3-5x^2+3x-1$  

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-10x+3$  

Sprawdźmy kiedy funkcja f jest rosnąca, czyli f'(x)>0. 

$3x^2-10x+3>0$  

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$  

$x_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3$  

Zatem:

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

 

Budujemy tabelę zmienności funkcji dla  $x\in ⟨-2,4⟩.$   

$x$	$-2$	$\left(-2,\frac{1}{3}\right)$	$\frac{1}{3}$	$\left(\frac{1}{3},3\right)$	$3$	$\left(3,4\right)$	$4$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	+	+	$0$	-	$0$	+	+
$f\left(x\right)$	$-35$	rosnąca	maksimum	malejąca	minimum	rosnąca	$-5$

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-5\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)-1=-8-5\cdot 4-6-1=-8-20-6-1=-35$  

$f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+3\cdot \frac{1}{3}-1=\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+1-1=\frac{1}{27}-\frac{15}{27}=-\frac{14}{27}$  

$f\left(3\right)=3^3-5\cdot 3^2+3\cdot 3-1=27-5\cdot 9+9-1=27-45+9-1=-10$  

$f\left(4\right)=4^3-5\cdot 4^2+3\cdot 4-1=64-5\cdot 16+12-1=64-80+12-1=-5$  

 

Wartość największa w rozpatrywanym przedziale wynosi $-\frac{14}{27}$   dla argumentu $x=4.$  

Wartość najmniejsza w rozpatrywanym przedziale wynosi $-35$   dla argumentu $x=-2.$