$\text{a)}$  

$f\left(x\right)=x^2-x-1$  

Równanie stycznej ma postać y=ax+b, przy czym puntem styczności jest A=(3, f(3)). 

Zauważmy, że:

$f\left(3\right)=3^2-3-1=5$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=2x-1$  

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy. Wiemy, że:

$f{}^{\prime }\left(3\right)=a$  

$2\cdot 3-1=a$  

$5=a$  

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

$y=5x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu $A=\left(3,5\right)$   mamy:

$5=5\cdot 3+b$  

$5=15+b$  

$-10=b$  

Zatem:

$y=5x-10$  

---

$\text{b)}$  

$f\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^3-2x+\frac{1}{2x^2}-1\frac{1}{6}$  

Równanie stycznej ma postać y=ax+b, przy czym puntem styczności jest A=(1, f(1)). 

Zauważmy, że:

$f\left(1\right)=\frac{2}{3}-2+\frac{1}{2}-1\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-2+\frac{3}{6}-1\frac{1}{6}=-2$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot 3x^2-2+\frac{1{}^{\prime }\cdot 2x^2-1\cdot \left(2x^2\right){}^{\prime }}{{\left(2x^2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=2x^2-2+\frac{-4x}{4x^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=2x^2-2-\frac{1}{x^3}$  

 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy. Wiemy, że:

$f{}^{\prime }\left(1\right)=a$  

$2\cdot 1-2-\frac{1}{1}=a$  

$-1=a$  

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

$y=-x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu $A=\left(1,-2\right)$   mamy:

$-2=-1+b$  

$-1=b$  

Zatem:

$y=-x-1$  

---

$\text{c)}$  

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4x}{x^2+2}$  

Równanie stycznej ma postać y=ax+b, przy czym puntem styczności jest A=(0, f(0)). 

Zauważmy, że:

$f\left(0\right)=\frac{0^2-4\cdot 0}{0^2+2}=0$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2-4x\right){}^{\prime }\left(x^2+2\right)-\left(x^2-4x\right)\left(x^2+2\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\left(x^2+2\right)-\left(x^2-4x\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^3+4x-4x^2-8-2x^3+8x^2}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^2+4x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}$  

 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy. Wiemy, że:

$f{}^{\prime }\left(0\right)=a$  

$\frac{4\cdot 0^2+4\cdot 0-8}{{\left(0^2+2\right)}^2}=a$  

$\frac{-8}{4}=a$  

$-2=a$  

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

$y=-2x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu $A=\left(0,0\right)$   mamy:

$-0=b$  

Zatem:

$y=-2x$