Rysunek pomocniczy:

   

Zauważmy, że przekątna kwadratu o boku długości $1$   jest równa  $\sqrt{2}.$  

Zauważmy, że przekątna kwadratu o boku długości  $r$   jest równa  $r\sqrt{2}.$   

Zatem otrzymujemy:

$\sqrt{2}=x+r+r+x$  

$\sqrt{2}=r\sqrt{2}+r+r+r\sqrt{2}$  

$\sqrt{2}=2\sqrt{2}r+2r$  

$\sqrt{2}=r\left(2\sqrt{2}+2\right)$  

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}=r$  

$\frac{\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}=r$  

$\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2\left({\sqrt{2}}^1-1^2\right)}=r$  

$\frac{2-\sqrt{2}}{2\left(2-1\right)}=r$  

$\frac{2-\sqrt{2}}{2}=r$  

$1-\frac{\sqrt{2}}{2}=r$  

Co należało pokazać.