Rysunek pomocniczy:

  

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha +\cos \beta =\frac{2\sqrt{3}}{3}$  

$\frac{b}{c}+\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$  

$\frac{b+a}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$  

$3\left(a+b\right)=2\sqrt{3}\cdot c$  

$\frac{3\left(a+b\right)}{2\sqrt{3}}=c$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$a^2+b^2=c^2$  

$a^2+b^2={\left(\frac{3\left(a+b\right)}{2\sqrt{3}}\right)}^2$  

$a^2+b^2=\frac{9{\left(a+b\right)}^2}{12}$  

$12a^2+12b^2=9\left(a^2+2ab+b^2\right)$  

$12a^2+12b^2=9a^2+18ab+9b^2$  

$3a^2+3b^2=18ab\mid :3$  

$a^2+b^2=6ab$  

$c^2=6ab$  

 

Obliczmy iloczyn sinusów tych kątów.

$\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c^2}=\frac{ab}{6ab}=\frac{1}{6}$