$\text{A.}$  

Wyznaczamy wartość funkcji  $f\left(x\right)=-2x^3$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$f\left(x_0\right)=f\left(-1\right)=-2\cdot {\left(-1\right)}^3=-2\cdot \left(-1\right)=2$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(-1\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-2x^3-2}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-2\left(x^3+1\right)}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-2\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(-2\left(x^2-x+1\right)\right)=$  

$=-2\cdot \left({\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+1\right)=-2\cdot \left(1+1+1\right)=-6$  

Styczna do wykresu funkcji  $f$  w punkcie P o odciętej  $x_0=-1$  opisana jest równaniem 

$y-2=-6\left(x-\left(-1\right)\right),$  

które po uproszczeniu ma postać

$y=-6x-4.$  

Aby wyznaczyć współrzędne punktu (punktów) przecięcia wykresu funkcji  $f$  ze styczną do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej  $x_0=-1,$  należy rozwiązać poniższy układ równań.

$\{\begin{array}{l}y=-2x^3\\ y=-6x-4\end{array}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną.

$-2x^3=-6x-4\mid :\left(-2\right)$  

$x^3=3x+2\mid -3x$  

$x^3-3x=2\mid -2$  

$x^3-3x-2=0$  

$x^3-x-2x-2=0$  

$x\left(x^2-1\right)-2\left(x+1\right)=0$  

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0$  

$\left[x\left(x-1\right)-2\right]\left(x+1\right)=0$  

$\left(x^2-x-2\right)\left(x+1\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)=0$  

$\left(x-2\right){\left(x+1\right)}^2=0$  

$x-2=0\text{lub}{\left(x+1\right)}^2=0$  

$x=2\text{lub}x=-1$  

Styczna do wykresu funkcji  $f$  w punkcie o odciętej  $x_0=-1$  ma 2 punkty wspólne z wykresem tej funkcji. Nie wyznaczamy drugich współrzędnych tych punktów, ponieważ ta informacja nie jest nam potrzebna do oceny prawdziwości danego stwierdzenia.

FAŁSZ

---

$\text{B}.$  

Tangens kąta, jaki z osią  $x$  tworzy styczna do wykresu funkcji  $f$  w punkcie o odciętej  $x_0=1$  jest współczynnikiem kierunkowym tej stycznej.

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2x^3-\left(-2\cdot 1^3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2x^3+2}{x-1}=$  

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2\left(x^3-1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(-2\left(x^2+x+1\right)\right)=$  

$=-2\left(1^2+1+1\right)=\left(-2\right)\cdot \left(1+1+1\right)=-6$  

FAŁSZ

---

$\text{C.}$  

W jednym układzie współrzędnych naszkicujmy wykres funkcji  $f$  oraz wykres stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej  $x_0=-1.$  

W otoczeniu punktu styczności o odciętej  $x_0=-1$  wykres funkcji  $f$  leży po prawej stronie tej stycznej.

PRAWDA

---

$\text{D.}$  

W punkcie A pokazaliśmy, że styczna do wykresu funkcji  $f$  w punkcie o odciętej  $x_0=-1$  ma z tym wykresem dwa punkty wspólne.

PRAWDA