$\text{a)}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=10$  w punkcie  $x_0=4.$  

$f{}^{\prime }\left(4\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(4\right)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{10-10}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{0}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }0=0$  

---

$\text{b)}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=-5x$  w punkcie  $x_0=2.$  

$f{}^{\prime }\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-5x-\left(-5\cdot 2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-5x-\left(-10\right)}{x-2}=$  

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-5x+10}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-5\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-5\right)=-5$  

---

$\text{c)}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=3x^2+5$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$f{}^{\prime }\left(-1\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2+5-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^2+5\right)}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2+5-\left(3+5\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2+5-8}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^2-3}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3\left(x^2-1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(3\left(x-1\right)\right)=3\cdot \left(-2\right)=-6$  

---

$\text{d)}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{3}{x+4}$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$f{}^{\prime }\left(-1\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3}{x+4}-\frac{3}{-1+4}}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3}{x+4}-\frac{3}{3}}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3}{x+4}-1}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3}{x+4}-\frac{x+4}{x+4}}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3-\left(x+4\right)}{x+4}}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{3-x-4}{x+4}}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{-x-1}{x+4}}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\frac{-\left(x+1\right)}{x+4}}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(\frac{-\left(x+1\right)}{x+4}\cdot \frac{1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-1}{x+4}=$  

$=\frac{-1}{-1+4}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$