$\text{a)}$  

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=15x^2+3$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\underset{\ge 0}{\underbrace{15x^2}}+\underset{>0}{\underbrace{3}}>0$  

Suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest liczbą większą od 0.

Funkcja $f$  jest zatem rosnąca w zbiorze  $\mathbb{R}.$  

---

$\text{b)}$  

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6x+12$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$6x^2-6x+12>0$  

$x^2-x+2>0$  

$x^2+2>x$  

Kwadrat pewnej liczby powiększonej o 2 jest liczbą większą od tej liczby.

Funkcja $f$  jest zatem rosnąca w zbiorze  $\mathbb{R}.$  

---

$\text{c)}$  

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{x^3}{2x^2+1}\right){}^{\prime }=\frac{\left(x^3\right){}^{\prime }\left(2x^2+1\right)-x^3\left(2x^2+1\right){}^{\prime }}{{\left(2x^2+1\right)}^2}=$  

$=\frac{3x^2\left(2x^2+1\right)-x^3\cdot 4x}{{\left(2x^2+1\right)}^2}=\frac{6x^4+3x^2-4x^4}{{\left(2x^2+1\right)}^2}=\frac{2x^4+3x^2}{{\left(2x^2+1\right)}^2}$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{2x^4+3x^2}{{\left(2x^2+1\right)}^2}>0$  

$2x^4+3x^2>0$  

Suma dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną. Powyższa nierówność jest prawdziwa dla  $x\in \mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}.$  

Obliczmy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=0$  oraz wartość tej funkcji w tym punkcie.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3}{2x^2+1}=\frac{0}{1}=0$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^3}{2x^2+1}=\frac{0}{1}=0$  

$f\left(0\right)=\frac{0}{1}=0$  

Stąd wynika, że  $f$  jest rosnąca w zbiorze  $\mathbb{R}.$