Obliczamy wartości funkcji  $f\left(x\right)=x^3-3x^2+x-1$  w punktach $0$  oraz  $3.$  

$f\left(0\right)=0^3-3\cdot 0^2+0-1=-1$  

$f\left(3\right)=3^3-3\cdot 3^2+3-1=27-27+3-1=2$  

Zauważmy, że  $f\left(0\right)\cdot f\left(3\right)<0.$  Zatem istnieje taka liczba  $x_1\in \left(0;3\right),$  dla której  $x^3-3x^2+x-1=0.$  Wobec tego dane równanie ma co najmniej jeden pierwiastek.