Z treści zadania wiemy, że:

$a_1=\sqrt{5}$  

$a_3=\frac{\sqrt{5}}{5}$  
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i wyznaczamy iloraz q tego ciągu. 

$a_3=a_1\cdot q^2$  

Mamy więc:

$a_1\cdot q^2=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Wobec tego:

$\sqrt{5}\cdot q^2=\frac{\sqrt{5}}{5}\mid :\sqrt{5}$  

$q^2=\frac{1}{5}$  

$\left|q\right|=\frac{1}{\sqrt{5}}$  

$\left|q\right|=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Zatem:

$q=\frac{\sqrt{5}}{5}\vee q=-\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami dodatnimi, więc:

$q=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Iloraz q spełnia warunek |q|<1.

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\sqrt{5}}{1-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}\cdot \frac{5}{5-\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{5}{\sqrt{5}-1}$  

---

Odpowiedź: D