Suma długości wszystkich krawędzi ...- Zadanie 7: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc:

$x > 0$

$y > 0$

Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi 64. Możemy więc zapisać równanie:

$8 x + 4 y = 64 ∣ : 4$

$2 x + y = 16 ∣ - 2 x$

$y = 16 - 2 x$

Długość y jest liczbą dodatnią, stąd:

$16 - 2 x > 0 ∣ + 2 x$

$16 > 2 x ∣ : 2$

$8 > x$

Tworzymy funkcję określającą pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

$f (x) = 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x \cdot (16 - 2 x) = 2 x^{2} + 4 x (16 - 2 x) = 2 x^{2} + 64 x - 8 x^{2} = 64 x - 6 x^{2} = - 6 x^{2} + 64 x$

Szukamy takiej wartości x ∈ (0; 8) dla której funkcja f przyjmuje wartość największą.

Obliczamy pochodną funkcji f.

$f^{'} (x) = (- 6 x^{2} + 64 x)^{'} = (- 6 x^{2})^{'} + (64 x)^{'} = - 12 x + 64$

Dziedziną pochodnej funkcji f jest zbiór D_f'=(0; 8).

Rozwiązujemy równanie f'(x)=0.

$- 12 x + 64 = 0 ∣ + 12 x$

$64 = 12 x ∣ : 12$

$\frac{16}{3} = x$

Rozwiązujemy nierówność f'(x)>0.

$- 12 x + 64 > 0 ∣ + 12 x$

$64 > 12 x ∣ : 12$

$\frac{16}{3} > x$

$x \in (0; \frac{16}{3})$

Rozwiązujemy nierówność f'(x)<0.

$- 12 x + 64 < 0 ∣ + 12 x$

$64 < 12 x ∣ : 12$

$\frac{16}{3} < x$

$x \in (\frac{16}{3}, 8)$

Rozwiązaniem nierówności f'(x)>0 jest przedział (0; 16/3). W przedziale tym funkcja f jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności f'(x)<0 jest przedział (16/3; 8). W przedziale tym funkcja f jest malejąca.

Pochodna funkcji f zmienia znak z "+" na "-" punkcie x=16/3. Stąd otrzymujemy, że w punkcie x=16/3 funkcja f ma maksimum.

Dla x=16/3 funkcja f przyjmuje wartość największą w przedziale (0; 8).

$O d p . x = \frac{16}{3} .$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.